Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (XIV)

3.5 PROBABILIDAD TOTAL

Partición de un espacio muestral

Sea Ω el espacio muestral asociado al experimento ζ. Sean B₁, B₂, B₃,..., B_k eventos de &Omega. Diremos que B₁, B₂, B₃,..., B_k constituye una partición del espacio muestral Ω, si se satisface las siguientes condiciones:

i) B_i ∩ B_j = φ     ∀ i,     ∀ j    , con i, j = 1, 2, … k.

ii) P(B_i ) ≠ 0, ∀ i = 1, 2, …, k

iii) B₁ ∪ B₂ ∪ B₃ ∪ ... ∪ B_k = Ω

En la figura adjunta, podemos apreciar que los eventos Bi no son vacíos; la unión de todos ellos genera el espacio muestral; y son eventos mutuamente excluyentes, dos a dos.

Luego la secuencia de eventos B₁, B₂, B₃,..., B_k constituye una partición de Ω.

Ejemplo 26

Sea Ω el espacio muestral asociado al experimento de lanzar dos dados por una sola vez. En este caso

Ω = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),..., (6,4),(6,5),(6,6)}.

SeaB₁ : “La caras superiores son iguales”

B₂ : “La suma de las caras es igual a 5”

B₃ : “El producto de las caras es 12”

B₄ : “La suma de las caras es 11”

B₅: “El producto de las caras es 32”

B₆: “Los números de las caras mostradas es (4,5)

La colección de eventos B₁, B₂, B₃, B₄, B₅, B₆ constituye una partición de Ω. Dejamos para el lector la comprobación del mismo.

Teorema de la probabilidad total

Sea B₁, B₂, B₃,..., B_k , una partición de eventos del espacio muestral Ω. Sea A un evento cualquiera de Ω. Entonces

P(A ) = P(B₁ ) P(A / B₁)P(B₁ ) P(A / B₂) ... P(B_k-1 ) P(A / B_k)

donde P( A / B _j) > 0,       ∀ j = 1, 2, ..., k.

Según el diagrama de Venn de la Figura 3.18, el evento A es un evento compuesto que puede ser expresado como

A = A ∩ B₁ ∪ A ∩ B₂ ∪ ... ∪ A ∩ B_k

Tomando probabilidades a ambos lados de la igualdad tenemos

P(A) = P(A ∩ B₁ ∪ A ∩ B₂ ∪ ... ∪ A ∩ B_k)

= P(A ∩ B₁) + P(A ∩ B₂) + ... + P(A ∩ B_k)       (1)

Recordando que A ocurre sabiendo que B_j ya ha ocurrido, podemos usar la probabilidad condicional para encontrar la probabilidad de cada uno de los términos de la suma, ya que