Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (XI)

4.3 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Función de densidad de probabilidad de una variable continua

Sea Ω el espacio muestral asociado al experimento ζ. Sea X una variable aleatoria. Diremos que X es una variable aleatoria continua si existe una función f a la cual llamaremos función de densidad de probabilidad de X, que satisface las siguientes condiciones:

Observaciones

La gráfica de la función de densidad de probabilidad de X se muestra en la siguiente figura.

1. En el caso de las variables aleatorias discretas la gráfica de la función de probabilidad son barras verticales cuyo valor probabilístico viene determinado por la altura de dichas barras.

En el caso continuo la gráfica de la función de densidad es una curva y las probabilidades de que X esté en un intervalo (a, b) ó a ≤ x ≤ b, es el área de la región formada por la curva y las rectas x = a y x = b, como se muestra en la figura anterior.

2. En el caso de las variables discretas existe p(x_i) ≥ 0, por lo que P(X = x _i) ≥ 0. Sin embargo, en el caso continuo se tiene que P(X = x_i) = 0. Por ello, podemos concluir, sin mayores detalles matemáticos que

P(a ≤ x ≤ b ) = P(a ≤ x < b ) + P(X = b) = P(a ≤ x < b)+0

Luego,

P(a ≤ x ≤ b ) = P(a ≤ x < b ) = P(a < x ≤ b) = P(a < x < b)

Si X es una variable aleatoria continua cuyo espacio rango es el intervalo ( α , β ) y f es su función de densidad de probabilidad, entonces

,

por las condiciones para que f sea una función de densidad de probabilidad.

3. Por otro lado, si X es una variable aleatoria cuya función de densidad viene dada por

entonces