Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

4.8 PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Una máquina posee 10 posiciones del torno diferentes que permite productos de diferente calibración. Si dicha máquina no tiene la unidad posicionada de manera apropiada, éste cae, y la posición del torno permanece abierta, resultando de ese modo un ciclo que produce menos de diez unidades. Un estudio del funcionamiento pasado de esta máquina indica que si X es una variable aleatoria que representa el número de posiciones abiertas, su función de probabilidad viene dada por

Si la pérdida debida a posiciones vacías viene dada por Y = 20x2, encuentre

a) la función de probabilidad de Y

b) la media y varianza de Y (E(Y) y V(Y))

2. El contenido de cloro de un determinado compuesto es una variable aleatoria dada por la siguiente función de densidad de probabilidad:

La utilidad que se obtiene de esta aleación es P = 10 + 2X

a) Encuentre la distribución de probabilidad de P

b) ¿Cuál es la utilidad esperada?

3. Un fabricante de aparatos de televisión a color ofrece un año de garantía de restitución gratuita si el tubo de imagen falla. El fabricante estima el tiempo de falla(en años), T, como una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad:

a) ¿Qué porcentaje de aparatos tendrá que reparar?

b) Si la utilidad por venta es de $200 y la sustitución del tubo de imagen cuesta $200, encuentre la utilidad esperada del negocio.

4. Un contratista ofrece realizar un proyecto. Los días requeridos, X, para la terminación sigue la siguiente distribución de probabilidad:

La utilidad del contratista es Y = 2000(12 – X)

a) Encuentre la distribución de probabilidad de Y

b) Determine E(X), V(X), E(Y) y V(Y).

5. El porcentaje de cierto aditivo en gasolina, determina el precio de venta. Si Z es la variable aleatoria que representa el porcentaje, entonces 0  Z  1. Si el porcentaje de Z es menor que 0.70, la gasolina es de 95 octanos y se vende a 9.92 soles por galón. Si el porcentaje de Z es mayor o igual a 0.70, la gasolina es de 97 octanos y se vende a 10.98 soles por galón.

Determine el ingreso esperado por galón en el caso en el que f(z) = 1, 0 ≤ z ≤ 1; y 0 en otros casos, f(z) = 0.

6. La estación terrena de Lurín tiene una antena rotatoria que recibe señales de dos formas. La posición rotacional(ángulo) se representa por X, y puede suponerse que esta posición en el tiempo en el que se recibe una señal es una variable aleatoria(por la variabilidad de la señal) con la densidad que se indica a continuación.

f(z) = 1/(2π)       0 ≤ x; ≤ 2π     y 0 en otros casos.

La señal puede recibirse si Y > y0, donde Y = tan(X). Por ejemplo, y0 = 1, corresponde a . Encuentre la función de densidad para Y.

7. La demanda de un anticongelante en una determinada temperatura se considera como una variable aleatoria X, con función de densidad definida por

f(x) = 10-6, 106 ≤ x ≤ 2x106 donde X se mide en litros. Si el fabricante encuentra una utilidad de 50 centavos de dólar por cada litro que vende al final de año, y se debe conservar cualquier exceso durante el siguiente año a un costo de 25 centavos de dólar por litro, determine el nivel “óptimo” de existencias para un final de temporada particular.

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