Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

4.9.2 Distribución hipergeométrica

Supongamos que se tiene una población finita de tamaño “N”. Supongamos que en esta población “r” elementos de ella poseen un determinado tipo de atributo. Supongamos también que en esta población se realiza el experimento de extraer una muestra de tamaño “n” sin reposición(sin reponer los elementos extraídos). Si se define la variable aleatoria X como “El número de elementos en la muestra que poseen dicho atributo”, diremos que X tiene Distribución Hipergeométrica, de parámetros N, r y n lo cual denotaremos por X →  H(N, r, n). 

Si se define a X: “Número de éxitos obtenido en la muestra de tamañon” y definimos al evento A comoA = { x/ X = x }, entonces P(A) = p(x) = P(X = x) debemos calcularla usando el siguiente razonamiento

P(A) = Número de casos favorables / Número de casos posibles

Si deseamos obtener x elementos de un total r elementos, el número de maneras de hacerlo es C(r, x) Del mismo modo, puesto que la muestra debe tener n elementos, los restantes n – x deben ser obtenidos de un total de N – r. El número de maneras de hacer esto es C(N - r, n - x).

Luego, el número de maneras de que x posean el atributo, y n – x, que no lo posean, es C(r, x) C(N - r, n - x), lo que constituye el “número de casos favorables”.

Por otro lado, si del total de N elementos se desea extraer muestras de tamaño n, el número de maneras de hacer esto es C(N, n).

Luego, la función de distribución de X será

Teorema

Si X es una variable aleatoria que tiene distribución Hipergeométrica, H(N, r, n), de parámetros N, r y n, entonces

Ejemplo 95

De un lote que contiene 25 artículos, 5 de los cuales son defectuosos, se eligen 4 al azar. Sea X el número de artículos defectuosos encontrados. Obtener la distribución de probabilidad si los artículos se eligen sin sustitución.

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como el número de artículos defectuosos elegidos en la muestra de tamaño 4.

Según la forma cómo se extraen los artículos, X tiene distribución Hipergeométrica con parámetros N = 25, r = 5 y n = 4; es decir X  H(25, 5, 4).

Si X = x es el evento “Elegir x artículos defectuosos”, entonces, x defectuosos se puede elegir de C(5, x) maneras mientras que 4-x no-defectuosos se pueden seleccionar de C(20, 4-x) maneras. Por ello, el número de maneras de elegir x defectuosos y 4 -x no defectuosos es, usando el principio de la multiplicación, C(5, x) C(20, 4 -x). Por otro lado, el número de maneras de extraer 4 artículos de un total de 25 es C(25, 4). Finalmente, si B = {X = x } entonces P(B) = C(5, x) C(20, 4-x) / C(25, 4), x = 0, 1, 2, 3, 4.

De manera que la función de probabilidad de X, viene dada por p(x) = P(X = x) = C(5, x) C(20, 4-x) / C(25, 4) , x = 0, 1, 2, 3, 4

Distribución Hipergeométrica en Excel:

En Excel para evaluar P(X ≤ k) se debe usar =Distr.Hipergeom(k,n,m,N)

donde k : Representa el número de éxitos deseado

n : Representa el número de experimentos o tamaño de la muestra

m : Representa el número de elementos que tiene el atributo deseado

N : Representa el tamaño de la población

 

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