Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (IV)

3.2 TÉCNICAS DE CONTEO

Principio de adición

Supongamos que los elementos de A se pueden agrupar de m maneras y del mismo modo los elementos de B se pueden agrupar de n maneras. El número de maneras de agrupar los elementos de A ó de B, sin que se repitan, es m + n;en otras palabras, podemos formar otro conjunto, digamos C, que constituye la unión de A y B. En este caso, n(C) = n(A) + n(B).

En efecto, si A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {2, 4, 6, 8}, entonces n(C) = n(A  B)= 9; es decir, el número de elementos que pertenezcan a los eventos A óB; es 9.

Principio de multiplicación

Supongamos ahora que se dispone de un mecanismo el cual se puede manifestar de m maneras; y otro mecanismo puede también manifestarse de n maneras; el número de maneras de manifestarse el primero y el segundo, es el producto, m x n. En efecto, si el número de maneras de obtener una cara, al lanzar al aire tres monedas, es 3, y si el número de caras menores a 3, que se puede obtener al lanzar un dado, es 2, entonces, el número de maneras de obtener una cara con la moneda y un número menor a 3 con el dado, es 6; es decir,  = {(SSC; 1), (SCS; 1), (CSS; 1), (SSC; 2), (SCS; 2),(CSS; 2)} Esquemáticamente

Permutación

Si de un conjunto de n elementos, deseamos obtener grupos de tamaño r cada uno, en los que interesa la ubicación de los elementos, el número de maneras de hacerlo se define como "permutaciones de n elementos tomados de r en r", el cual se denota por P(n,r) y se define como

Del mismo modo, si se considera la repetición de sus elementos, se tiene permutación con repetición, definido por:

Pr(n,r) = n^r

Permutaciones cuando no todos los elementos son diferentes

. Si de un conjunto de n elementos, se desea formar grupos que contengan n₁ elementos de una clase, n₂ de una segunda clase,…, n_k elementos de una k-ésima clase, con n = n1 + n2+…. + nk, entonces el número de permutaciones de esos elementos está dado por

Ejemplo 07

Cuántos cifras de tres dígitos se pueden formar con los dígitos decimales,

a) si no se deben repetir los dígitos y no se considera el 0?

b) Si no se deben repetir los dígitos y se considera el 0?

c) Si se repiten los dígitos y se considera el 0?

Solución

Ante todo, el número de dígitos decimales es 10; es decir, n = 10. Como se desea formar número de tres dígitos, entonces m = 3. Por otro lado, en cada grupo de tres dígitos nos interesa tomar en cuenta la ubicación de los mismos; el "grupo" 267 es diferente al 672; diferente al 762, etc. Esta es la razón por la cual debemos usar permutaciones: nos interesa el orden de ubicación de los elementos.

a) Si no se considera el 0, disponemos de 9 dígitos, n = 9. Como ninguno de los nueve debe repetirse, P(9, 3) es la cantidad de números que podemos formar; es decir, P(9, 3) = 9! / (9 - 3)! = 9x8x7 = 504

b) Aquí, debemos tomar en cuenta n = 10, con lo que se tiene P(10, 3). Pero de esta cantidad debemos eliminar los casos en los cuales el dígito cero ocupa la primera posición. Según esto, la posición de las centenas puede ser ocupada solamente por los 9 dígitos (estamos eliminando el cero); esto no da P(9, 1) maneras. La posición de las decenas y de las unidades puede ser ocupada por cualquiera de los 9 dígitos restantes (donde sí se considera el cero); por lo que, el número de cifras de 2 dígitos será P(9, 2). Ahora, como debemos formar números tomando en cuenta la cantidad de maneras de obtener las centenas y la cantidad de maneras de obtener las decenas y unidades, usando el principio de la multiplicación, tendremos que

El número de cifras es P(9, 1)xP(9, 2) = 648.

c) Ahora sí debemos considerar permutaciones con repetición, por cuanto se permite la repetición de cualquiera de los diez dígitos en las posiciones de las decenas y unidades y sólo 9 de ellos en la posición de las centenas. Esto indica que el número de maneras será

P(9, 1)xPr(10,2) = 9 x 102 = 900