Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

4.9.5 Distribución multinomial

Sea X₁ , X₂ , X₃,... X_r , un conjunto de variables aleatorias definidas como el “Número de veces que se repite cada una de ellas” con n_i el número de veces que se repite X_i , diremos que X₁ , X₂ , X₃,... X_r tienen distribución multinomial si

P(X₁ = n₁ ,₂ = n₂ , ..., _r = n_r) = n! / (n₁!n₂!...n_r!)p₁^n₁p₂^n₂...p_r^n_r)

donde n = n₁ + n₂ + ... +n_r

Teorema

Si X₁ , X₂ , X₃,... X_r son variables aleatorias que tiene una distribución multinomial, entonces su esperanza es E[X] = np_i     y

Su varianza V[X] = np_i (1- p_i ) para i = 1, 2, ..., r

Ejemplo 120

Un mecánico mantiene un gran número de arandelas en un depósito. El 50% de estas arandelas son de ¼ de pulgadas de diámetro; el 30% de ellas son de 1/8 de pulgadas y el 20% son de 3/8 de pulgadas de diámetro. Supongamos que se elige 10 arandelas de este depósito.

¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 5 arandelas de ¼ de pulgada, 4 de 1/8 de pulgada y uno de 3/8 de pulgada?

¿Cuál es la probabilidad de que hay sólo dos tipos de arandelas entre las elegidas?

¿Cuál es la probabilidad de que haya 3 de una clase, 3 de otra clase y 4 de otra clase?

Solución

Sea X₁ la variable aleatoria que representa el número de arandelas de ¼ de pulgada.

Sea X₂ la variable aleatoria que representa el número de arandelas de 3/4 de pulgada.

Sea X₃ la variable aleatoria que representa el número de arandelas de 3/8 de pulgada,

De acuerdo a esto, el conjunto de variable X1, X2 y X3 tienen una distribución multinomial con probabilidades de éxito 0.5, 0.3 y 0.2, respectivamente.

Por ello debemos encontrar