3. Variables aleatorias y modelos probabilísticos (1)

VARIABLES ALEATORIAS Y MODELOS PROBABILISTICOS

La Estadística Descriptiva es una clara demostración del porqué se decía que la computación (y por tanto el computador) era una herramienta de apoyo ( y de cálculo). Y vaya que sí lo es. Hemos visto pasar por el programa Minitab toda la Estadística Descriptiva. Hemos desarrollado parte de las bondades de este programa para realizar un análisis de datos descriptivos.

Las variables aleatorias constituyen el fundamento de la Estadística Inferencial. Los modelos matemáticos que determinan el comportamiento poblacional de ciertos fenómenos aleatorios, son construidos en base a las variables aleatorias. El programa Minitab es entonces una herramienta eficaz para simular este comportamiento, construyendo escenarios hipotéticos o supuestos teóricos, que se sustentan en el comportamiento poblacional en el pasado. Por ello el objetivo de este capítulo es estudiar las variables aleatorias y los modelos de probabilidad discretos y continuos. Objetivo es también utilizar el Minitab para la solución de todos los problemas de los modelos probabilísticos.

En este capítulo desarrollaremos los siguientes temas:

1. Conceptos de Variables Aleatorias discretas y continuas

2. El Minitab y las variables aleatorias

3. Distribución Binomial.

4. Distribución Hipergeométrica

5. Distribución Geométrica

6. Distribución de Poisson

7. Distribución Uniforme

8. Distribución Exponencial

9. Distribución Normal

10. Distribución Gamma

1. Conceptos de Variables Aleatorias discretas y continuas

Una variable aleatoria se define como una función que hace corresponder números reales a elementos del Espacio Muestral. Una variable aleatoria puede ser discreta o continua. Dependiendo del tipo de experimento o fenómeno podemos hablar de modelos de probabilidad, algunos de los cuales son muy comunes.

Sea x un Experimento, Ensayo o Fenómeno Aleatorio. Sea W el Espacio Muestral asociado al experimento x formado por todos los posibles resultados de la realización de dicho experimento. Se dice que X es una Variable Aleatoria, a una función tal que, para cada elemento w del espacio muestral W, le hace corresponder el elemento x del Espacio Rango tal que x = X(w).

Una variable aleatoria puede ser Discreta o Continua.

A) Variable Aleatoria Discreta

En el caso discreto se define a p(x) como la función de probabilidad de X si

a) p(x) ³ 0

Observaciones

1. p(2) = P(X = 2) es la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor 2

2. P(X = x₁ ó X = x₂ ) = P(X = x₁ ) + P(X = x₂)

4. La Función de Distribución Acumulada de X es F, definida por

5. P(X > x ) = 1 – P(X£ x ) = 1 – F(x)

6. P(X < r ) = P(X£ r ) – P(X = r) = F(r) – p(r)

7. P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b ) – P(X ≤ a ) = F(b) – F(a)

8. Del mismo modo, dado F, se puede hallar p(x) tal que

p(x) = P(X£ x ) - P(X£ x - 1 ) = F(x) - F(x-1)

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