3. Variables aleatorias y modelos probabilísticos (23)

Ejemplo 12

 

Resolveremos el siguiente problema usando Minitab, sin generar valores para la distribución y luego verificaremos los resultados de las probabilidades con lo que una tabla de normal nos muestre.

 

Se cree que las ventas de un determinado producto tienen una distribución normal con promedio igual a 10,000 productos por semana y una desviación estándar de 1,500 productos por semana.

 

a)     ¿Cuál es la probabilidad de vender más de 12,000 productos en una semana cualquiera?

b)    ¿Cuántos productos debe producir a fin de mantener una probabilidad de 97.5% de que la empresa cuente con suficientes existencias para cubrir la demanda semanal?

c)     ¿Cuál es la probabilidad de que la venta semanal de estos productos difiera de la venta promedio, en más de 1000 productos?

d)    Si en la siguiente semana se asegura vender más de 11,000 productos, ¿cuál es la probabilidad de que en esa semana se venda menos de 12,500 productos?.

 

Solución

 

Si definimos a X como “El número de productos vendidos por semana” entonces podemos decir que X à N(10,000, 1500²).

 

a)     Debemos encontrar P(X > 12000) = 1 – P(X £ 12000)

 

Cálculo de F(12000) por Minitab

 

Usando Minitab tenemos:

Seleccionamos <Cumulative probability>

En <Mean> ingresamos 10000;

En <Standard desviation> ingresamos 1500;

En <Input constant> ingresamos 12000.

Clic en <Ok>

 

Luego tenemos que P(X > 12000) = 1 – 0.9088 = 0.0912

 

Estandarizando tenemos P(X>12000) = P(Z>4/3) = 1-F(1.333) = 1- 0.9088

 

b)    Debemos encontrar un K tal que P(X > K) = 0.975

 

En Minitab debemos elegir la opción

<Inverse cumulative probability>

En <Input constant> ingresamos 0.975

 

Esto no da como resultado  1.29x104; que equivale a 12,900 productos. Pero si se usa la opción <Optional storage> ingresando una variable, digamos K1, usando la secuencia:

<Manip> - <Display data> y seleccionando K1, veremos que el verdadero resultado es K1 = 12939.9, es coincidente con lo que podamos encontrar usando una tabla de normal tabulada.

 

c)     Aquí se pide encontrar P( | X - m  | > 1000).

 

P( | X - m  | > 1000) = P(X - m  < -1000 ) + P(X - m > 1000)

 

                     = 1 + P(X < 9000) – P(X £ 11000) = 0.5050

 

d)    Aquí debemos resolver una probabilidad condicional P(X <12000/X>11000).

 

 

Debemos encontrar F (12000) – F(11000) y dividirlo entre ( 1 – F(11000)

 

Para ello sigamos exactamente la misma secuencia de pasos que se hizo en a), para encontrar F(12000).

 

Nota:

Qué ocurre si la distribución no es simétrica?

En ese caso, usaremos la distribución Gamma para resolver el problema.

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