3. Variables aleatorias y modelos probabilísticos (24)

10.   Distribución Gamma

 

 Esta es una distribución poco usada en la Estadística, pero otras distribuciones, como la Chi – Cuadrado, se basan en ella. Esta es la razón por la que la presentamos.

  

Definición

 

Sea X una variable aleatoria continua. Diremos que X tiene una Distribución Gamma si función de densidad de probabilidad viene dada por

 

                       

 

cuyos parámetros son  a y r  con a > 0 y r > 0

 

donde  es la función Gamma.

 

Observaciones:

1.             Si r = 1 entonces f(x) = e-aque indica que X es exponencial

 

2.             Si a = 1 entonces la variable X sigue una  distribución Gamma Estándar

 

3.             El valor esperado de X es E(X) = r/a 

 

4.             La varianza de X es V(X) = r/a²

 

En Minitab, la distribución gamma se encuentra como las anteriores distribuciones, en la opción <Probability distributions> del comando <Calc>.

 

La ventana que se obtiene es la siguiente.


En ella se elegirá <Probability density> si se desea trabajar con la función de densidad

 

Se elegirá <Cumulative probability> para trabajar con la distribución acumulada

 

Como en los casos anteriores, también se puede buscar un  valor de K para una probabilidad dada tal que P(X £ k ) = a  usando <Inverse acumulative probability>.

 

Del mismo modo se ingresará la columna que contiene los valores de X en <Input variable>, o <Input constant> para obtener una probabilidad determinada.

 

El  primer parámetro, r se ingresará en <First shape parameter>  y en <Second shape parameter> se ingresará el valor del segundo parámetro.

 

Las siguientes figuras muestran la gráfica de la función de densidad y acumulada de la distribución Gamma, que tiene como parámetros a r = 2 y a = 0.4.


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