3. Variables aleatorias y modelos probabilísticos (8)

3.   Distribución Binomial

 

 

Esta es una delas distribuciones más conocidas y utilizadas en el grupo de las distribuciones discretas, por cuanto muchos experimentos o fenómenos que se presentan en el mundo real tienen este comportamiento. Cuando se lanza una moneda, cuando se pregunta si una persona apoya a su presidente, cuando afirmamos que “El 75% de los ingresos de los trabajadores se destinan a alimentación”, etc. estamos frente a una población formada por dos grupos: Los que poseen una propiedad y los que no la poseen. De manera que, cuando se extrae un elemento de la misma, éste puede pertenecer al grupo que posee la característica, o no. Muchas otras distribuciones se apoyan en la distribución binomial.

 

 

Definición

 

Sea X una variable aleatoria discreta. Si se define a X como el “Número de veces que ocurre éxito”, con p la probabilidad de éxito, al realizar n veces un ensayo que cumple con las condiciones de un Ensayo de BernoulliUn experimento o ensayo se dice que es de Bernoulli si al realizarlo se obtiene dos únicos resultados: éxito o fracaso y se ejecuta o realiza una sola vez., entonces diremos que X tiene distribución Binomial, con parámetros n y p; lo que se indica por Xà B(n, p).

 

La distribución de probabilidad de X viene dada por

 

           

Observaciones:

 

  1. Cada repetición del experimento se realiza con reposición. (p es constante).
  2. La distribución acumulada de X es
  3. La media o esperanza de X es  mX = E(X) = np  y la varianza sX² = np(1-p)

 

Comentario:

Por qué decimos que cuando se realiza el experimento la probabilidad de éxito es constante:

Supongamos que se tiene una urna conteniendo 8 bolillas blancas y 6 bolillas rojas. Se extrae dos bolillas, una después de otra. Suponga que estamos interesados en obtener bolilla blanca.

 

La probabilidad de que la primera bolilla extraída sea blanca es 8/14.

Si la primera bolilla extraída es blanca y ésta no se devuelve (sin reposición), la urna tiene sólo 7 de un total de 13, luego la probabilidad de que la segunda sea blanca, es 7/13. Como se ve, la probabilidad de éxito ha cambiado, no es constante.

 

Por el contrario, si la primera bolilla extraída se devuelve a la urna (con reposición), la probabilidad de que la segunda sea blanca es 8/14. En este caso, la probabilidad de éxito sigue siendo constante. Es esto lo que ocurre en el caso de una variable binomial.

 

Binomial con Minitab

 

El Minitab permite resolver problemas de variables aleatorias que tienen una  distribución binomial.

 

Podemos generar datos aleatorios que tengan Distribución Binomial para lo cual usamos

 

<Calc> - <Random Data> - <Binomial>

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