4. Muestreo y distribuciones muestrales (10)

5.   Distribución t - Student

 

Definición

 

Diremos que la variable aleatoria X tiene distribución t de Student, con v grados de libertad, si su función de densidad de probabilidad viene dada por

     , para todo x  y  v ³ 1, entero.

 

La siguiente figura muestra dos curvas t de Student  con 5 y 15 grados de libertad, aunque los intervalos son diferentes: En el primero (-2, 6) y en el segundo (-6, 6).


 

Observaciones

  1. Si X à t(v)  entonces E(X) = 0  con v > 1 y .

 

  1. Sea X una variable aleatoria con distribución N(0, 1) y sea V una variable aleatoria con . Si X y V son independientes, entonces la variable aleatoria  es tal que T à t(v)
  2. Como se puede ver en la figura, la distribución N(0, 1) es un caso especial de la distribución t de Student, cuando n es suficientemente grande.

 

  1. Las tablas disponibles presentan valores de t de Student usando la distribución acumulada por ambas colas; de suerte que, si P(X < t0 ) = 0.05, con n grados de libertad, debemos buscar en la tabla el valor de t0  tal que P(X < t0 ) = 0.025

 

  1. En Minitab encontramos los valores de t0  usando el mismo concepto.

 

  1. Como en el caso de la distribución Chi – Cuadrado, cuando los valores de t0  o el valor de la probabilidad no estuvieran en la tabla, se deberá interpolar para encontrar su valor. En el Minitab, los hallaremos de manera directa.

 

  1. Si las variables Z y V son independientes con

 

 

Entonces la variable aleatoria

 

  1. La siguiente figura muestra la estrecha relación entre la distribución N(0, 1) y t(n). Si n à µ  entonces la gráfica de t(n) coincide con la gráfica de N(0, 1).

 

  1. La afirmación anterior ratifica la decisión de usar N(0, 1) para resolver problemas de muestreo cuando n ³ 30 (muestras ‘suficientemente grandes’); mientras que si n < 30 (muestras ‘pequeñas’), se debe usar distribuciones como  , t de Student o F de Fisher.


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