4. Muestreo y distribuciones muestrales (10)
5. Distribución t -
Student
Definición
Diremos que la variable aleatoria X tiene
distribución t de Student, con v grados de libertad, si su función de densidad
de probabilidad viene dada por
, para todo x y v ³ 1, entero.
La siguiente figura muestra dos curvas t de
Student con 5 y 15 grados de libertad, aunque los intervalos son diferentes:
En el primero (-2, 6) y en el segundo (-6, 6).
Observaciones
- Si X à t(v) entonces E(X) = 0 con v > 1 y .
- Sea X una variable aleatoria con
distribución N(0, 1) y sea V una variable aleatoria con . Si X y V son
independientes, entonces la variable aleatoria es tal que T à t(v)
- Como se puede ver en la figura, la distribución
N(0, 1) es un caso especial de la distribución t de Student, cuando n es
suficientemente grande.
- Las tablas disponibles presentan valores
de t de Student usando la distribución acumulada por ambas colas; de
suerte que, si P(X < t0 ) = 0.05, con n grados de libertad,
debemos buscar en la tabla el valor de t0 tal que P(X < t0
) = 0.025
- En Minitab encontramos los valores de t0
usando el mismo concepto.
- Como en el caso de la distribución Chi –
Cuadrado, cuando los valores de t0 o el valor de la
probabilidad no estuvieran en la tabla, se deberá interpolar para
encontrar su valor. En el Minitab, los hallaremos de manera directa.
- Si las variables Z y V son
independientes con
Entonces la variable
aleatoria
- La siguiente figura muestra la estrecha
relación entre la distribución N(0, 1) y t(n). Si n à µ entonces la
gráfica de t(n) coincide con la gráfica de N(0, 1).
- La afirmación anterior ratifica la
decisión de usar N(0, 1) para resolver problemas de muestreo cuando n ³ 30 (muestras
‘suficientemente grandes’); mientras que si n < 30 (muestras
‘pequeñas’), se debe usar distribuciones como , t de Student o F de
Fisher.
Pág. 4.10
© Ilmer Condor Espinoza. Todos los derechos reservados.
Prohibida la reproducción por cualquier medio.
Publicación web autorizada a aulaClic.
Enero-2009.