4. Muestreo y distribuciones muestrales (23)

Ejemplo 6

 

Sea X₁, X₂, ..., X_n una muestra aleatoria extraída de una población normal N(m, s²).

 

Del mismo modo, sea  la varianza muestral. Determinar el menor valor de n para el cual se cumple

 

 

 

Solución

 

Puesto que ,

 

Multiplicando por (n-1) a la desigualdad

 

    .

 

El primer miembro de la desigualdad, dentro de los paréntesis define a una variable Chi – Cuadrado con (n-1) grados de libertad. Por ello,

 

si hacemos entonces  debemos hallar un valor Chi – cuadrado tal que

 

Para ello, puesto que Minitab requiere de los grados de libertad, debemos hacer un “mixing” entre una estimación manual y el Minitab para verificar el cálculo manual.

 

Puesto que n es desconocido, debemos asignarle un valor tal que al multiplicarlo por 1.5, se encuentre el valor Chi – Cuadrado con probabilidad 0.95 y n –1 grados de libertad.

 

Supongamos que n = 11. Esto implica que (n-1)x1.5 = 15.

 

¿Es cierto que con 10 grados de libertad y con una probabilidad acumulada de 0.95, se tiene un valor de Chi – Cuadrado igual a 15?.

 

Usando Minitab:

 

<Calc> - <Probability distributions> - <Chi–Square> - <Inverse cumulative probability>

 

En <Degrees of freedom> Ingresamos 10

 

En <Input constant> Ingresamos 0.95

 

El resultado es 18.3070

 

Probemos ahora con  n –1 = 27. Es decir, como (n – 1) x 1.5 = 40.5

 

Al usar Minitab encontramos que el valor de la constante es  40.1133.

 

Esto implica que n – 1 = 27 .

 

Luego el tamaño muestral será  n =  28.

 

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