4. Muestreo y distribuciones muestrales (29)

15.    Inferencia acerca de las varianzas de dos poblaciones

 

 

De manera que, si las varianzas poblacionales son iguales, dicha razón es 1 y podríamos afirmar que las dos poblaciones tienen una distribución homogénea; es decir, los datos se encuentran igualmente dispersos. Una forma clara de interpretación de la importancia de la homogeneidad de varianzas se puede apreciar en el siguiente ejemplo:

 

Supongamos que estamos comparando el rendimiento promedio de los alumnos de una asignatura dividida en dos secciones, cada una de las cuales están asignadas a diferentes profesores. Podría ocurrir que el rendimiento promedio de ambas secciones sea la misma; pero sin embargo, las notas pueden tener diferente variabilidad.

 

Observe las dos curvas en el siguiente gráfico. Las dos tienen el mismo promedio, pero, por la forma de la campana, tienen diferente varianza.

 

Esto justifica la necesidad de establecer una prueba de hipótesis para una razón de varianzas, a fin de comprobar si ellas son homogéneas o no.

 

Una aplicación de esta razón podría ser bastante significativa en un caso en el que las medias no son muy explicativas.

 

Por otro lado, así como se realiza inferencia sobre la estimación y prueba de hipótesis de la diferencia de medias o proporciones muestrales en el caso de dos poblaciones, así también podemos plantear el estudio de la razón de las varianzas de dos poblaciones definiendo al parámetro q como     y su estimador   . Este estudio lo haremos tomando en cuenta el intervalo de confianza y la prueba de hipótesis para q.

 

Pues bien. Sea X₁, X₂, ..., X_n1 una muestra aleatoria extraída a partir una población N(m₁, s₁²) y se Y₁, Y₂, ..., Y_n2 una muestra aleatoria extraída a partir una población N(m₂, s₂²).

 

Si  son los estadísticos de la primera muestra, de tamaño n₁ y  son los estadísticos de la segunda muestra, de tamaño n₂ en donde

 

 

    y             así como

 

                y     

 

entonces diremos que  es un estimador puntual para la razón o el cociente de las varianzas poblacionales  

 

 

De manera que si  es el estimador de  definiremos la variable aleatoria

 

   tal que F à F(n₁ – 1, n₂ – 1)

 

Por tanto las pruebas de hipótesis a plantearse, usando el estadístico

con n₁ – 1 grados de libertad en el numerador y n₂ – 1 grados de libertad en el denominador, serán

 

Caso I	Caso II	Caso III
Si Fc <Fa; Rechazar H0	Rechazar H0  si Fc < Fa/2 o si Fc > F1-a/2	Si Fc > 1-a ; rechazar H0

 

Y en cuanto al Intervalo de confianza del (1-a)x100% para    será

 

           

 

 

 

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