4. Muestreo y distribuciones muestrales (7)

3. Distribuciones para muestras pequeñnas

Las distribuciones muestrales vistas anteriormente son aquellas que se fundamentan en el Teorema del Límite Central; y podemos aplicar el muestreo probabilístico sobre ellas utilizando la distribución normal, siempre que el tamaño de la muestra sea “suficientemente grande”; esto es, n ³ 30.

Sin embargo, nada hemos dicho cuando n < 30. En estos casos, la aplicación de la distribución normal, no estaría bien fundamentado ya que no cumpliría con le Ley de Grandes Números, ni con el Teorema del Límite Central. Las distribuciones muestrales, cuando el tamaño de la muestra es menor a 30, reciben el nombre de Distribuciones Muestrales para muestras pequeñas.

Entre las distribuciones muestrales para muestras pequeñas tenemos:

- La distribución Chi – Cuadrado ()

- La distribución t de Student

- La distribución F de Fisher

4. Distribución Chi – cuadrado

Recordemos que si la variable aleatoria continua X tiene una distribución Gamma, entonces su función de densidad de probabilidad es

con parámetros a > 0 y r > 0.

Donde E(X) = r/a y V(X) = r/a²

Definición

Sea X una variable aleatoria continua. Diremos que X tiene una distribución Chi – cuadrado con m grados de libertad si su función de densidad de probabilidad está dada por

Esta función es un caso especial de la función de distribución Gamma en el cual hacemos a = 1/2 y r = v/2.

Observaciones.

X à es la notación que emplearemos para afirmar que X tiene una distribución Chi-cuadrado

v representa el número de grados de libertad con el cual se evalúa los valores de esta distribución.

El valor esperado de X es E(X) = v. Su varianza es V(X) = 2v

La mayoría de libros presentan una tabla de la Distribución usando el complemento de la distribución acumulada; es decir, .
El Mintab usa la distribución acumulada F; con <

La distribución Chi-cuadrado en Minitab lo activamos mediante

<Calc> - <Probability distributions> - <Chi – square>

La ventana que se obtiene es similar a las distribuciones continuas ya estudiadas.

Seleccionaremos <Cumulative probability> si deseamos obtener .

Seleccionaremos <Inverse cumulative probability> si queremos encontrar K.

Para cualquiera de las opciones comentadas, se deberá ingresar el número de grados de libertad, v.

Finalmente, en <Input constant> se ingresará el valor de K, para el cual se desea encontrar la probabilidad, habiendo seleccionado <Cumulative probability>.

Si se selecciona la opción <Inverse cumulative probability>, entonces en <Input constant se debe ingresar el valor de la probabilidad, p, para el cual queremos encontrar K.

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