Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (V)

Ejemplo 08

De cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres damas y tres varones en una banca,

a) ¿Si no interesa la ubicación de entre ellos?

b) ¿Si tanto las damas como los varones deben estar juntos?

c) ¿Si sólo los varones deben estar juntos?

d) ¿Si los varones ocupan los lugares impares?

Solución

A diferencia del respecto al ejemplo anterior, aquí las personas no pueden repetirse, pero sí interesa quién está junto a quién; por ello interesa el orden, por lo que usaremos permutación.

a) Como no interesa la ubicación entre ellos, simplemente tenemos 6 elementos para formar grupos de 6 en 6. Por ello, el número de maneras será P(6, 6 ) = 6! = 720.

b) Si las damas deben estar juntos, debemos contemplar de cuántas maneras pueden sentarse juntas; esto es P(3, 3). Del mismo modo, P(3, 3) es la cantidad de maneras en que los varones se sentarán juntos. Usando el principio de la multiplicación, P(3, 3)xP(3, 3) es el total de maneras. Algo más: las damas pueden sentarse a la izquierda o a la derecha. Esto genera dos maneras diferentes de formar cada uno de los P(3, 3)xP(3, 3) grupos. Luego, el total de maneras de sentarse será 2 x P(3, 3)xP(3, 3) = 2 x 6 x 6 = 72.

c) Aquí sólo los varones deben estar juntos. El esquema siguiente refleja la situación.

El total de maneras de ubicarse los varones es P(3, 3). Tomémoslo como si fueran una unidad. Esta unidad puede insertarse antes, después y entre las tres damas. Esto implica que pueden ubicarse en 4 lugares diferentes. Como las damas se pueden ubicar de P(3, 3) maneras, el total de maneras pedido será 4 x P(3, 3) x P(3, 3) = 144

d) Si los varones deben ocupar los lugares impares, entonces deben sentarse en los lugares 1, 3 y 5. Y el número de manera de ubicarlos ahora es P(3,3). Ahora bien, las damas ocuparán los lugares pares de P(3, 3) maneras.

El número de maneras de ubicar a los varones en los lugares impares y a las damas en los lugares impares es, P(3, 3) x P(3, 3) = 36.

Combinaciones

Si de un conjunto de n elementos, deseamos obtener grupos de tamaño m cada uno, donde no interesa el orden de ubicación o selección de los elementos, el número de maneras de hacerlo se define como "combinaciones n elementos tomados de m en m", el cual se denota por C(n, m) y se define como

Ejemplo 09

Una firma comercial tiene 10 vendedores. ¿De cuántas maneras puede asignarse los vendedores en dos escritorios con

a) Cinco vendedores en cada escritorio?

b) Siete vendedores en un escritorio y 3 en el otro?

c) Si ahora se dispone de 3 escritorios, de cuántas maneras se puede asignar 3 vendedores al primero, 3 al segundo y 4 al tercer escritorio?

Solución

a) Puesto que cualquier vendedor puede sentarse en cualquiera de los 5 escritorios, el número de maneras de asignarse escritorios a los 5 primeros será C(10, 5). El otro escritorio puede ser asignado a los restantes 5 vendedores de C(5, 5) maneras. Luego, el número de maneras de asignar los dos escritorios a los 10 vendedores es

C(10, 5)x C(5, 5); es decir

C(10, 5) x C(5, 5) = (10x9x8x7x6 ) / (5x4x3x2) x 1 = 252.

b) En este caso C(10, 7) es el número de maneras de asignar el primer escritorio a 7 de los vendedores. Los restantes 3 se ubican en el segundo escritorio, de una sola manera. Luego C(10, 7) = 120 es el total de maneras de lograr lo pedido.

c) Siguiendo el mismo razonamiento: Tres vendedores son asignados de C(10, 3) maneras. Los siguientes 3 se asignan de C(7, 3) maneras y los restantes 4 se asignan de C(4, 4) maneras en el tercer escritorio. Esto es, de C(10, 3) x C(7, 3) x C(4, 4) = 120 x 35 x 1 = 4200 maneras.

 

Ejemplo 10

Un testigo de un accidente automovilístico informa a la policía que la placa del automóvil que originó el accidente era amarilla y comenzaba con la letra A y terminaba en 5. ¿Cuántos automóviles deberá investigar la policía de la ciudad de Lima a fin de ubicar al vehículo en cuestión?

Solución

Como sabemos, en Lima todas las placas amarillas están formadas de 3 letras y 3 dígitos.

 A                     5 

Siendo la primera letra A, la segunda y tercera letras pueden ser escogidas de Pr(26, 2) maneras; es decir, de 26² maneras.

Del mismo modo, los dos dígitos que faltan pueden ser elegidos de Pr(10, 3) = 1000 maneras.

Luego el número de placas que debe investigar la policía es 26²x1000 = 676000.

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