Unidad 7. PRUEBA DE HIPÓTESIS (II)

Modelos de hipótesis nula y alternativa

Si θ el parámetro poblacional y θo un valor particular de dicho parámetro, tres son los modelos de hipótesis que se pueden formular:

Modelo A: Llamado también De cola a la izquierda

Ho: θ ≥ θo : Interpretado como “El parámetro no es menor a θo “

H1: θ < θo : Interpretado como “El parámetro es menor a θo “

Modelo B: Llamado también De cola a la izquierda

Ho: θ ≤ θo : Interpretado como “El parámetro no es mayor a θo “

H1: θ > θo : Interpretado como “El parámetro es mayor a θo “

Modelo C: Llamado también De cola bilateral

Ho: θ = θo : Interpretado como “El parámetro es igual a θo “

H1: θ ≠ θo : Interpretado como “El parámetro no es igual a θo “

Estadístico de la prueba Sea X₁, X₂, …, X_n una muestra aleatoria extraída de una población de parámetro θ. Sea = t = T(X₁, X_n, …, X_n ) un estadístico de la muestra. Diremos que θ_C es el estadístico de la prueba, al valor obtenido a partir del estadístico , tomando en cuenta la distribución muestral de dicho estadístico que constituye una variable muestral. Al estadístico de la prueba lo denotaremos por θ_C.

Valor o valores críticos

Son los valores para los cuales se tiene a α como probabilidad.

En el caso del modelo de cola a la izquierda, el valor crítico es θ_α

En el caso del modelo de cola a la derecha, el valor crítico es θ_1-α

Y en el caso de dos colas o prueba bilateral el valor del nivel de significación α se divide en dos valores iguales: θ_α/2 y θ_1-α/2.

Estos valores se puede apreciar en las tres siguientes gráficas correspondientes a los tres modelos: cola izquierda, derecha y doble cola.

Estos cuatro valores se obtendrá usando el procedimiento de la inversa en la distribución que le corresponda. Hemos usado la gráfica de la campana de Gauss sólo como un medio para representar la posición de estos valores críticos según corresponda al modelo de hipótesis en cuestión.

Regiones de aceptación y rechazo de la hipótesis nula

Cualquiera que sea el modelo de hipótesis nula Ho, implica el rechazo o la aceptación (preferiremos decir que no se rechaza Ho) de la misma.

Puesto que la comprobación de la validez de Ho se realiza con los datos muestrales, entonces el espacio de los valores muestrales se divide en dos regiones: La región de rechazo de Ho o región crítica y la región de aceptación o de no rechazo de Ho.

Para definir ambas regiones usaremos gráficos tomando en cuenta la campana de Gauss (forma de la curva normal o t de Student). El mismo esquema se presenta si se toma la curva correspondiente a las distribuciones Chi cuadrado o F de Fisher.

Para el modelo A:

Ho: θ ≥ θo : Interpretado como “El parámetro no es menor a θo “

H1: θ < θo : Interpretado como “El parámetro es menor a θo “

Para el modelo B:

Ho: θ ≤ θo : Interpretado como “El parámetro no es mayor a θo “

H1: θ > θo : Interpretado como “El parámetro es mayor a θo “

Para el modelo C:

Ho: θ = θo : Interpretado como “El parámetro no es mayor a θo “

H1: θ ≠ θo : Interpretado como “El parámetro es mayor a θo “