Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (XIII)

Ejemplo 22

Dos amigos, A y B, participan de un juego que consiste en extraer, alternadamente, una canica de una urna que contiene 7 canicas rojas y 5 blancas. El juego se repite hasta que uno de ellos extrae una canica blanca, en cuyo caso gana y termina el juego. Si el amigo A inicia el juego, ¿cuál es la probabilidad de que gane?

Solución

Sea el Gi el evento: “El amigo A obtiene la canica blanca en el i-ésimo juego y gana”       Pi el evento: “El amigo A no obtiene la canica blanca en el i-ésimo juego y pierde”

El diagrama anterior muestra la secuencia del juego. Como se puede ver, empieza jugando A; si extrae una canica blanca, gana con probabilidad P(GA) = 5/12; pierde con P(PA)=7/12, en cuyo caso juega B; si extrae una blanca gana, con P(GB) = 5/11; pierde con P(PB)=6/11.

Vamos a preocuparnos por evaluar la probabilidad de que gane A. Sea X el evento “Gana A”. Podemos expresar a X como una unión de eventos condicionales según se indica:

Ejemplo 23

En una ciudad, el 70% de los adultos escuchan radio; el 40% lee periódico; y el 10% ve televisión. Entre los que escuchan radio, el 30% lee periódico y el 4% ve TV; el 90% de los que ven TV, leen periódico; y sólo el 2% de la población total, lee periódico, ve TV y escucha radio. Si se elige una persona al azar, cual es la probabilidad de que lea periódico, escuche radio o vea TV vea televisión, sabiendo que lee periódico.

Solución

Sean los eventos

Pe: Leen periódico

Ra: Escuchan radio

Tv: Ven televisión

Según los datos: P(Pe) = 0.70; P(Ra) = 0.40; P(Tv) = 0.10. Por otro lado, tenemos las probabilidades: P(Pe/Ra) = 0.30; P(Pe/Tv) = 0.90; P(Tv/Ra) = 0.04; P(Pe ∩ Ra ∩ Tv) = 0.02

Aquí debemos hallar: P(Pe ∪ Ra ∪ Tv).

P(Pe ∪ Ra ∪ Tv) = P(Pe)+P(Ra)+P(Tv)-P(PeRa) – P(RaTv) – P(PeTv)+ P(PeRaTv) = 0.70 + 0.40 + 0.10 –P(Ra)P(Pe/Ra)-P(Ra)P(Tv/Ra)-P(Tv)P(Pe/Tv) +0.02 = 1.2 - .70x0.30 – 0.70x0.04 – 0.1x0.90 + 0.02 = 0.872

Debemos encontrar la probabilidad del evento “Tv/Pe”. Según esto P(Tv/Pe) = P(Tv ∩ Pe)/P(Pe) = 0.11/0.40 = 11/40.

Ejemplo 24

La urna 1 contiene x bolas blancas e y bolas negras. La urna 2 contiene z bolas blancas y v bolas rojas. Se extrae una bola de la urna 1 y se deposita en la urna 2; luego se extrae una bola de esta segunda urna. Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea blanca?

Solución

Las figuras 3.15 y 3.16 muestran la realización del experimento y el diagrama de árbol correspondiente. Sea Y el evento: “La segunda bola extraída sea blanca”.

Según la figura 3.16, bola blanca se obtiene por dos ramas del árbol, como nos lo muestran las flechas. En la primera rama debemos obtener la probabilidad de que la primera bola haya sido blanca y la segunda sea blanca; y en la segunda rama opcional, la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda sea blanca; es decir Y = Y ∩ B ∪ Y ∩ R. Usando propiedades, tenemos

P(Y) = P(Y ∩ B) + P( Y ∩ R) = P(B)P(Y/B) + P(R)P(Y/R)

          =(x / (x+y)) ((z+1) / (z+v+1)) + ( y /(x + y)) ( z / (z+v+1))

Ejemplo 25

Se almacenan, en un mismo depósito, dos tubos buenos con otros dos defectuosos. Se prueban los tubos de uno en uno, hasta encontrar los dos defectuosos. Cuál es la probabilidad de que

¿el último tubo defectuoso sea obtenido en la segunda prueba?

¿el último tubo defectuoso sea obtenido en la tercera prueba?

¿el último tubo defectuoso sea obtenido en la cuarta prueba?

Solución

Los elementos del espacio muestral son: DD, DBD, BDD, BDBD, BBDD, DBBD.

Sea X el evento “El segundo defectuoso se obtiene en la segunda prueba”.

P(X) = P({DD}) = (2/4)(1/3) = 1/6

Sea X el evento “El segundo defectuoso se obtiene en la tercera prueba”.

P(X) = P({DBD, BDD}) = (2/4)(2/3)(1/2) + (2/4)(2/3)(1/2) = 1/3

Sea X el evento “El último defectuoso se obtiene en la cuarta prueba”

P(X) = P({BDBD, BBDD, DBBD}) = (2/4)(2/3)(1/2)(1) + (2/4)(1/3)(2/2)(1) + (2/4)(2/3)(1/2)(1) =1/2

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