Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (XII)

Ejemplo 20

Una urna contiene 8 canicas blancas y 4 canicas negras. Se extrae una muestra de tamaño 4, a) en el primer caso se devuelve la canica extraída, b) en el segundo, la canica extraída se retira. Encuentre la probabilidad de que la canica observada en la tercera extracción, haya sido blanca, si se sabe que se extrajeron 3 canicas blancas.

Solución

Definamos los eventos: A: “Se extrajeron tres canicas blancas” y B: “La tercera canica extraída es blanca”. Según esto, debemos encontrar

P(B / A ) = P( A ∩ B) / P(A)

Caso a) La muestra se selecciona con reposición

En este caso, la probabilidad de extraer una canica blanca, es la misma en cualquiera de las cuatro oportunidades, 8/12.

Ahora bien, si bien P(B/A) no ofrece ningún inconveniente en calcular por definición, sí debemos tomar nota que P(A ∩ B) y P(A), no son directos. En efecto, A consiste en extraer tres canicas blancas, de un total de 4 que contiene la muestra. Como las canicas son indistinguibles, el número de maneras de seleccionar 3 canicas blancas de un total de 4, constituye una combinación de 4 elementos, tomados de 3 en 3, C(4,3). Como cada una de las canicas blancas puede repetirse, el número de maneras de seleccionarlas constituye una permutación con repetición, de 8 canicas tomados de 3 en 3. Con esto, tenemos una muestra, digamos BNBB; una negra se obtiene como una combinación de 4 elementos tomados de uno en uno, C(4,1). Con todo ello, el número de casos favorables a que ocurra A es n(A) = C(4,3)x 8³ x C(4,1). El número total de maneras de seleccionar cuatro canicas del total de 12, donde cada una de ellas puede repetirse hasta cuatro veces, constituye una permutación con repetición; es decir, Pr(12, 4). Luego, la probabilidad de la ocurrencia de A se evalúa

Encontremos ahora, P(A ∩ B). Una muestra de A ∩ B es “BNBB”, de los cuales tenemos 4 casos. Ahora debemos tomar en cuenta que la segunda B es fija, con lo cual, el número de maneras de obtener el grupo es C(3,2); y como por permutación obtenemos las tres canicas, el número de casos favorables de A ∩ B es n(A ∩ B) = C(3,2)x 83 x C(4,1). Luego, la probabilidad pedida será

Caso a) La muestra se selecciona sin reposición

En este caso, n( Ω) está formado por grupos de 4 canicas que pueden ubicarse en cuatro formas diferentes (puede considerarse: posiciones diferentes), lo que constituye el número de permutaciones de 12 elementos tomados de 4 en 4, P(12,4). En cuanto a la ocurrencia del evento A, “NBBB”, es una muestra de lo que se desea; en donde, las tres blancas se obtienen como C(4,3), la canica negra, C(4,1) y como estas blancas son elegidas del total de 8, esto constituye una permutación de 8 elementos tomados de 3 en 3, es decir, P(8,3). Finalmente, n(A) =. C(4,1)xP(8,3)xC(4,1),

P(A) = C(4, 1) P((, 3) C(4, 1) / P(12, 4) = 224 / 495.

En el caso de n(A ∩ B), una muestra representativa podría ser “BNBB”, donde fijamos B en la tercera posición. Estas tres canicas se pueden ordenar como C(3,2), se pueden elegir como permutaciones de 8 de 4 en 4, P(8,3) y la canica negra se elige como C(4,1); con lo cual

P(A ∩ B) = C(3, 2) P(8, 3) C( 4, 1) / P(12, 4) = 56 / 165

Luego, P(B / A ) = P(A ∩ B) / P(A) = 0.75

Ejemplo 21

IMAGINA está construyendo un edificio en un clima de aparente calma. La probabilidad de que la construcción se termine a tiempo es 17/20. La probabilidad de que no haya huelga es 3/4; la probabilidad de que la construcción del edificio se termine a tiempo, dado que no hubo huelga, es 14/15; la probabilidad de que no haya huelga y no se termine la construcción a tiempo, es 1/10. ¿Cuál es la probabilidad de que:

la construcción se termine a tiempo y no haya huelga?

no haya huelga, dado que la construcción se terminó a tiempo?

la construcción no se termine a tiempo, si hubo huelga?

la construcción no se termine a tiempo, si hubo huelga?

Solución

Definamos los siguientes eventos:

H: “Haya huelga”

T: “La construcción se terminó a tiempo.

Según los datos, y tomando en cuenta el diagrama:

P(T) = 17/20 , P(H’ ) = 3/4 , P(T/H’ ) = 14/15, P(H ∩ T’ ) = 1/10

Debemos hallar P(T ∩ H’). Del diagrama podemos deducir que el evento T ∩ H’ proviene del tercer ramal condicional, ya que

P(T/ H' ) = P(T ∩ H') / P(H' )

de donde P(T / H’) = 3/4x14/15 = 0.7

El evento condicional “No haya huelga, dado que la construcción se terminó a tiempo” es H’/T, por lo que, de acuerdo a lo encontrado en a)

P(H' / T ) = P( H' ∩ T) / P(T) = (7/10) / (14/15) = 14 / 17.

En este caso el evento condicional es T’/H. Por lo que

P(T' / H ) = P( H ∩ T' ) / P(H) = 0.1 / 0.25 = 0.4

Finalmente,

P(T' / H' ). Observando el diagrama, este es un dato.