Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (XI)

Ejemplo 17

Si P(A) = 1/2, P(B) = 1/3 y P(AB) = 1/4 , evaluar P(A ∪ B), P(A/B), P(B/A) y P(A ∪ B/B).

Solución

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 1/2 + 1/3 - 1/4 = 7/12

P(A / B ) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.25 / 0.3333 = 0.75

P(B / A ) = P( A ∩ B) / P(A) = 0.25 / 0.5 = 0.5

Evaluemos P(A ∪ B / B )

Si (A ∪ B) ∩ B = B, entonces P( A ∪ B / B) = P(B) / P(B) = 1

Ejemplo 18

Dos radios defectuosos son mezclados con otros dos buenos. Se prueban los radios, de uno en uno hasta encontrar los dos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que el

a) último radio defectuoso sea encontrado en la segunda prueba?

b) el último radio defectuoso sea encontrado en la tercera prueba?

Solución

Sea A: “El último radio defectuoso es encontrado en la segunda prueba”

B: “El último radio defectuoso es encontrado en la tercera prueba”

En el diagrama de la figura 3.11,

a) El segundo defectuoso sale en la segunda prueba con P(A) = P(D₂/D₁) P(D₁ )= 1/6

b) El Segundo defectuoso sale en la tercera prueba de dos maneras: Que en la segunda salga D₂’ habiendo salido D₁ en la primera:

Que en la segunda salga D₂ habiendo salido D₁’ en la primera

Esto es P(B) = P(D₃ / D₂ ‘ )P(D₂‘ / D₁) P(D₂ ) + P(D₃ / D₂ )P(D₂ / D₁ ‘)P(D₁ ‘)

                    = 1/2 x 2/3 x2/4 + 1/2 x 2/3 x2/4     =     1/3

Ejemplo 19

Piero Petroni tiene dos vehículos para trasladarse a su centro de trabajo. Como consecuencia de haberlo sometido a grandes jornadas de trabajo, los dos vehículos tienen problemas en el momento del arranque inicial. La probabilidad de que uno u otro arranquen es 0.1; la probabilidad de que arranque el segundo, pero no el primero, es 0.2; la probabilidad de que ninguno de ellos arranquen es 0.4. Hallar la probabilidad de que

El primer vehículo arranque

Arranque el primero, sabiendo que el segundo arrancó.
[ Arranque el segundo, si el primero no arrancó

Solución

Sean los eventos

A: “El primer vehículo arrancó”

B: “El segundo vehículo arranco”

Por los datos del problema, tenemos

P(A ∩B ) = 0.1;

P(A’ ∩ B ) = 0.2;

P(A’ ∩ B’ ) = 0.4

En este caso debemos hallar, la probabilidad de A. Empecemos encontrando B, en base a los datos del problema. Según el diagrama, B es la “suma” de los eventos A ∩ B y A’∩ B. Es decir, pretendemos encontrar una ecuación cuya variable sea B el cual debe estar formado por eventos mutuamente excluyentes, pero con probabilidad de ocurrencia conocidas. De allí que no expresemos a A, como la “suma” de A ∩ B y A ∩ B’, ya que no sabemos de P(A ∩ B’ ).

En efecto B = A ∩ B ∪ A ∩ B’, de donde, P(B) = P(A ∩ B)+ P(A’ ∩ B )=0.1+0.2 = 0.3

Como P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B), y también P(A ∪ B) = 1 - P(A’ ∩ B’)

Luego P(A) + P(B) – P(AB) = 1 – P(A’ ∩ B’ ), de donde, P(A) = 1-0.4-0.3+0.1= 0.4

Debemos hallar la probabilidad de que ocurra A, dado que ya ocurrió B, es decir, P(A/B).

Por definición, P(A / B ) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.1 / 0.3 = 1/3.

En este caso, debemos hallar P(B/A’).

Por definición de probabilidad condicional, tenemos P(B / A' ) = P(B ∩ A') / P(A') = 0.2 / (1-0.4) = 1 / 3