Sea el espacio muestral asociado al experimento . Sea A y B dos eventos de . Supongamos que el evento A, ya ha ocurrido con P(A) > 0. Según esto, diremos que P(B/A) representa la “probabilidad condicional de que ocurra el evento B, sabiendo que ha ocurrido el evento A”, el cual se define como
Esquemáticamente, supongamos que la probabilidad de que el evento A ocurre, es de 0.40. Si ocurre A, la probabilidad de que ocurra B, es 0.20; si no ocurre A, la probabilidad de que B ocurra es 0.30. En el diagrama siguiente, conocido como Diagrama de árbol, se muestra estas probabilidades. Observe que en la primera “etapa” hablamos de la ocurrencia o no del evento A; en la segunda “etapa”, estamos interesados en averiguar la ocurrencia o no, de B.
Según los datos:
P(A) = 0.40
P(A’) = 0.60
P(B/A) = 0..20
P(B’/A) = 0.80
P(B/A’) = 0.30
P(B’/A’) = 0.70
Teorema de la multiplicación
De la definición de probabilidad condicional, podemos extraer las siguientes ecuaciones:
P(A ∪ B) = P(A) P(B / A)
Del mismo modo, P(A ∪ B) = P(B) P(A / B)
A estas dos ecuaciones se les conoce como el teorema de la multiplicación o probabilidad de la intersección. Es decir, la probabilidad de que ocurran los dos eventos simultáneamente, sabiendo que uno de ellos ya ocurrió, es el producto de la probabilidad de la ocurrencia del segundo sabiendo que ha ocurrido el primero, por la probabilidad de la ocurrencia del primero.
En general:
Sean A1, A2 ,... An , eventos del espacio muestral Ω. Si suponemos que todas las probabilidades existen, entonces
P(A1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ An) = P(A1)P(A2/A1) ... P(An / A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An-1)
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