Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (IX)

Ejercicio 01

Sean X, Y y Z eventos de Ω. Supongamos que P(X) = 0.7, P(Y) = 0.5, P(XY’) = 0.3 y P(XY’Z’) = 0.1. Evalúe

a) P([X ∪ (X’Y)]’)                 c) P(X’ ∪ Y’Z)

b) P(XY ∪ [X ∪ X’Y’ ]         d) P(X’Y ∪ XY’ )(exactamente ocurre uno)

Ejercicio 02

Si P(X) = 0.5, y P(X ∪ (Y’Z’ )’ ) = 0.8, determinar P(X’ (Y ∪Z))

Ejercicio 03

Sean X, Y, Z eventos de &Omega. Exprese en términos de P(X), P(Y), P(Z), P(XY), P(XZ) y P(XYZ), para k = 0, 1, 2, 3 la probabilidad de que

a) ocurran exactamente k de los eventos X, Y, Z

b) ocurran por lo menos k de los eventos X, Y, Z

c) ocurran cuando menos k de los eventos X, Y, Z

Ejemplo 14

Yaco se presenta a dos universidades A y B. Su padre estima la probabilidad de que logre ingresar a la Universidad A en 0.8; a la Universidad B, en 0.75; en, al menos una de ellas, en 0.95. ¿Cuál es la probabilidad de que ingrese a ambas universidades?

Solución.

Según los datos, P(A) = 0.8, P(B) = 0.75, P(A ∪ B ) = 0.95. Debemos hallar P(AB).

De 0.95 = P(A  B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0.8 + 0.75 – P(AB), obtenemos P(AB) = 0.6

Y como AB es el evento “ingresar a ambas universidades”, la probabilidad pedida será 0.6

Sugerencia: Represente los eventos usando Diagramas de Venn para visualizar el problema.

Ejemplo 15

De una urna que contiene dos bolas rojas, una azul y tres verdes, se extraen aleatoriamente dos de ellas. Calcule la probabilidad de que las dos bolas sean verdes o una roja y otra azul.

Solución

Sea A: “las dos bolas extraídas son verdes”

B: “la primera bola es roja y la segunda azul”

Debemos encontrar P(A  B ).

Aunque el problema no lo dice, supondremos que la primera bola extraída no es devuelta a la urna. Es decir, se realiza experimentos sin reposición por lo que los casos posibles y favorables se obtiene usando combinaciones. Es equivalente si se extrae las dos bolas a la vez

Lugo el número de maneras de extraer dos bolas de un total de 6, es C(6, 2)

Dos verdes se obtiene de C(3, 2) maneras. Luego P(A) = C(3, 2) / C(6,2) = 3/15

Otra forma de obtener P(A): La probabilidad de obtener una verde en la primera extracción es 3/6. La probabilidad de obtener verde en la segunda, sabiendo que ya salió en la primera, es 2/5 (ya que sólo quedan 5 de las cuales dos son verdes).

Luego la probabilidad de que salgan verde la primera y verde la segunda, es (3/6)(2/5) = 3/15.

Por otro lado, usando cualquiera de las formas, P(B) = (2/6)(1/5) = 1/15

Por tanto, P(A &∪ B) = P(A) + P(B) = 3/15 + 1/15 = 4/15. (A y B son mutuamente excluyentes)

Ejemplo 16

Un conjunto de alumnos tienen acceso a tres páginas de Internet: Web1, Web2 y Web3. Una encuestadora de opinión realizó una consulta y obtuvo los siguientes resultados. El 20% de los alumnos acceden a la página Web1, 30% acceden a Web2 y 25% acceden a Web3; 10% acceden a Web1 y Web2; 8% acceden a Web1 y Web3; 12% acceden a Web2 y Web3; 3% acceden a las tres páginas. Si se selecciona a un alumno, ¿cuál es la probabilidad de que acceda a una de las tres páginas?

Solución

El siguiente diagrama adjunto muestra la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los sectores del mismo.

Tomando en cuenta el diagrama anterior, definamos los siguientes eventos:

A: “Acceden a la página Web1”

B: “Acceden a la página Web2”

C: “Acceden a la página Web3”

Sean W el evento: “Accede por lo menos a una página”.

Según esto, “accede por lo menos a una página” está representado por A ∪ B ∪ C.

Luego P(W) = P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(AC) + P(ABC)

      = 0.20 + 0.30 + 0.25 – 0.10 – 0.08 – 0.12 + 0.03

     = 0.48

Otra forma:

“Acceder a por lo menos a una página” es el complemento del evento W’: “Acceder a cero páginas”. Esto implica que P(W) = 1 - P(W’ ) = 1 - P(A’ B’ C’ ) = 1 - 0.52 (en la figura, todo lo que no está en A, B y C).

Ejercicio 04

Un agente vendedor intenta colocar un determinado producto a tres de sus probables clientes A, B y C. La probabilidad de que el cliente A o B, pero no C compren el producto, es 0.65, la probabilidad de que el primero y el segundo compren, es 0.20. La probabilidad de que haga la primera venta pero no la tercera es 0.25. La probabilidad de que ni el primero ni el segundo compren, es 0.25; la probabilidad de que no compre el segundo pero sí el tercero, es 0.30. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo uno de los dos primeros, pero no el tercero, compren?

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