Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (VIII)

Ejemplo 12

Sea P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(C)=0.7, P(AB) = 0.2, P(AC)=0.2, P(BC) = 0.2 y P(ABC)=0.1.

Evalúe las siguientes probabilidades.

a) P(A ∪ B ∪ C)

b) P(A ∪ B ∪ C’)

c) P(A ∪ B)

d) P(A’ ∪ B’ )

e) P(A’C’)

f) P(A’B’C’)

Solución

a) Por propiedades sabemos que

P(A ∪ B ∪, C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC)

= 0.4 + 0.5 + 0.7 – 0.2 – 0.2 – 0.2 + 0.1 = 0.11

b) P(A ∪, B ∪ C’) = P(A) + P(B) + P(C’) – P(AB) – P(AC’ ) – P(BC’ ) + P(ABC’ )

Como P(C’) = 1 – P(C)

Si P(A)=0.4, P(AC’ ) = P(A) – P(parte naranja) – P(parte roja) = 0.4 – 0.1 –0.1 =0.2

Si P(B)=0.5, P(BC’) = P(B) – P(parte roja) – P(parte verde) = 0.3

P(ABC’) = P(parte azul) = P(AB) – P(ABC) = 0.1

Luego P(A ∪ B ∪ C’) = 0.4 + 0.5 + (1-0.7) – 0.2 – 0.3 + 0.1 = 0.8

c) P(A  B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0.4 + 0.5 – 0.2 = 0.7

d) P(A’  B’ ) = P[(AB)’] = 1 – P(AB) = 1 – 0.7 = 0.3.

e) P(A’ C ’) = P[(A  C)’] = 1 – P(A  C) = 1 – ( 0.4 + 0.7 – 0.2) = 0.1

f) Como A’B’C’ = (A  B  C)’, y de a) tenemos P(A  B  C) = 0.11, entonces

P(A’B’C’) = P(A  B  C)’ = 1 - P(A  B  C) = 1 – 0.11 = 0.89.

Ejemplo 13

¿Cuál o cuáles de los siguientes incisos representan eventos que son:

(1) colectivamente exhaustivos,

(2) mutuamente excluyentes dos a dos?

a) P(A) = 0.6, P(B) = 0.2, P(C) = 0.1, P(AB) = 0.0

b) P(A) = 0.1, P(B) = 0.4, P(C) = 0.5, P(A  B ) = P(C), P(A  C) = 0.6 y P(BC) = 0

c) P(A) = P(B) = 0.2, P(C) = 0.6, P(AB) = 0, P(A  C)= P(B  C) = 0.8

d) P(A) = P(B) = P(C) = 0.35, P(AB) = P(AC) = 0.

Solución

Ante todo, recordemos que:

i) A, B, C son eventos colectivamente exhaustivos si A ∪ B ∪ C = Ω.

ii) Dos eventos son mutuamente excluyentes si no ocurren ambos a la vez.

iii) En este caso, como A  B  C = , entonces se cumple que P(A ∪, B ∪ C)=1.

Veamos:

a) P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC).

Como P(AB) = 0, entonces AB = φ, con lo cual, P(ABC) = 0.

Si por otro lado, P(A) + P(B) + P(C) = 0.9, al restarle los otros términos seguirá siendo menor que uno, con lo cual diremos que A, B y C no son colectivamente exhaustivos.

Del mismo modo, no son mutuamente excluyentes dos a dos, a pesar de P(AB) = 0, ya que si así fuera, P(A ∪ B ∪ C) sería uno, lo que no es cierto.

b) Si P(BC) = 0, entonces P(ABC) = 0 ya que ABC = φ. Como 0.5=P(C )=P(AB)=P(A) + P(B) - P(AB) = 0.1 + 0.4 – P(AB) con lo cual P(AB)=0. Del mismo modo, si P(A ∪ C) = 0.6, podemos concluir que P(AC) = 0 (¿?). Por tanto, A, B y C son colectivamente exhaustivos ya que P(A ∪ B ∪ C ) = 1.0

Son también mutuamente excluyentes ya que P(AB) = P(AC) = P(BC) = 0

c) Como en el caso anterior, si P(AB) = 0, entonces P(ABC) = 0; con lo cual diremos que los eventos son mutuamente excluyentes dos a dos. Por otro lado, y siguiendo el mismo razonamiento del caso anterior, los tres eventos A, B y C son colectivamente exhaustivos.

d) Con los datos de la pregunta,

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC)

= 0.35 + 0.35 + 0.35 - 0 - 0 - P(BC) + 0

Como P(A ∪ B ∪ C) no puede ser mayor que uno, P(BC) debe ser 0.05.

Esto indica que

- los tres eventos no son colectivamente exhaustivos

- los pares de eventos A, B y A, C son mutuamente excluyentes, pero B y C no lo son.