Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (VII)

Definición de probabilidad como una frecuencia relativa

Supongamos que el experimento ζ se repite un número de veces muy grande. Sea Ω el espacio muestral asociado a ζ,, donde n(Ω) = n. Supongamos que el evento A ocurre un número determinado de veces, digamos n_A , es decir, n(A) = n_A . Diremos que P(A) representa la probabilidad de la ocurrencia del evento A, la que se define como la frecuencia relativa del número de ocurrencias del evento respecto al número de veces que se ha realizado el experimento; es decir, P(A) = n_A / n

Definición clásica de probabilidad

Supongamos que el experimento ζ se repite un número determinado de veces. Sea Ω el espacio muestral asociado a ζ, donde n(Ω) = n. Supongamos que el evento A ocurre un número de veces, digamos n_A , es decir, n(A) = n_A . Diremos que P(A) representa la probabilidad de la ocurrencia del evento A y se define como la razón entre el número de casos favorables a la ocurrencia de A, sobre el número de casos posibles; esto es, P(A) = n(A) / n(Ω) = n_A / n

Definición axiomática de probabilidad

Sea ζ un experimento y Ω el espacio muestral asociado a ζ. Sea A un evento de Ω, de tal manera que A está contenido en Ω. A cada evento A, le asociamos una función real, denotado por P(A) siempre que se satisfaga las siguientes propiedades:

i) 0 ≤ P(A) ≤ 1

ii) P(Ω) = 1

iii) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

iv) Si A₁ , A₂ , A₃ … A_n … son eventos que se excluyen mutuamente, dos a dos, entonces

Probabilidad del evento complementario

Si A’ es el evento complementario de A, entonces P(A’) = 1 – P(A).

Probabilidad de la unión de dos eventos cualesquiera

Si A y B son dos eventos cualquiera de Ω, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

En el caso de tres eventos:

Si A, B y C son tres eventos cualquiera de Ω entonces,

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P( A ∩B) - P( A ∩ C) - P( B ∩ C) + P( A ∩ B ∩ C)

Ejemplo 11

El neumático del auto de un alumno tiene un clavo y el 20% del neumático es visible. Si el automovilista se detiene, ¿cuál es la probabilidad de que el clavo quede en la parte visible?

Solución

En la figura anterior, cada sector representa la quinta parte del círculo. Si suponemos que el sector V es el sector visible y definimos al evento A: “El sector V es visible”, entonces P(A) = 1/5 = 0.20