Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (XIX)

Ejemplo 34

Todas las noches el señor García llega tarde a su casa. La señora García, que es una buena esposa, le deja encendida la luz de la entrada a la casa. La probabilidad de que el señor García llegue pasado de copas es 0.60. Si ha bebido, hay una probabilidad de 0.90 de que olvide apagar la luz, en tanto que ésta es sólo de 0.05, si llega sobrio.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el señor García apague la luz en una noche cualquiera?

b) Dado que el señor García apagó la luz, una cierta noche, ¿cuál es la probabilidad de que haya llegado pasado de copas?

Solución

Sean los eventos:

A: Llega pasado de copas

B: Apaga la luz

a) Debemos hallar la probabilidad de B.

Según el diagrama anterior, para encontrar la probabilidad de B, debemos usar el teorema de la probabilidad total. En efecto,

P(B) = P(A)P(B/A)+P(A’)P(B/A’)

        = (0.6)(0.10) + (0.4)(0.95)

        = 0.44

b) Sabiendo que el evento B ha ocurrido, se nos pide encontrar P(A/B).

Usando el Teorema de Bayes

Ejemplo 35

El profesor Márquez dicta un curso de Estadística y quiere tomar una prueba en cada clase. Sabedor de que a veces se olvida de ir a preparar su clase, ha dado instrucciones a su Jefe de Prácticas que se haga cargo de la clase cuando él está ausente. Si el profesor Márquez hace clase, la probabilidad de que tome la prueba es de 0.70, en tanto que si la clase lo desarrolla el Jefe de Práctica, dicha probabilidad es sólo de 0.10. Si el profesor Márquez falta el 80% de las clases,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya una prueba en una clase dada?

b) Suponiendo que hubo prueba en una clase determinada, ¿cuál es la probabilidad de que el profesor Márquez haya estado ausente?

Solución

Sea X el evento: “El profesor Márquez falta a clase(no da la clase)”

Sea Y el evento: “Se tomó una prueba en una clase determinada”

a) Se toma una prueba en una clase determinada cuando el profesor Márquez está presente o cuando no lo está. En otras palabras Y = X  Y  X  Y. Esto nos lleva a aplicar el teorema de la probabilidad total.

P(Y) = P(X)P(Y/X) + P(X’)P(Y/X’)

          = (0.80)(0.10) + (0.20)(0.70)

          = 0.22

b) Si se tomó una prueba entonces el evento Y ha ocurrido. La probabilidad de que el profesor Márquez haya estado ausente, sabiendo que hubo una prueba, significa encontrar la probabilidad condicional P(X/Y). Si sólo aplicamos la probabilidad condicional, tendremos

Nota:

Naturalmente P(X/Y) constituye la aplicación del Teorema de Bayes. En muchos casos no es fácil reconocer si para calcular una determinada probabilidad condicional se debe aplicar el teorema de Bayes. En estos casos ayuda muchísimo el trazar un diagrama de árbol. En todo caso, se puede calcular también como una simple aplicación de la probabilidad condicional, como lo hemos hecho en este ejemplo. Sólo recomendamos tomar en cuenta el diagrama para contemplar todas las aristas del problema.

 

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