Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (X)

Ejemplo 24

La firma “Pregunta S.A.” realiza su acostumbrado trabajo de campo durante una campaña electoral. Para lograr una entrevista debe realizar varios intentos independientes, por la dificultad de conseguir personas que acepten la entrevista. Si la probabilidad de lograr una entrevista exitosa es 0.70, determine la distribución de probabilidad del número de intentos realizados hasta conseguir una entrevista exitosa.

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como el “Número de intentos realizados hasta obtener una entrevista exitosa”. Sea p = 0.7 la probabilidad de una entrevista exitosa.

Por cada entrevista exitosa se tiene p = 0.7 y por cada entrevista fallida q = 1-p = 0.3. El siguiente esquema podría graficar la secuencia de nuestros intentos, en donde todos son fallidos hasta el último y sólo éste, que es exitoso.

Supongamos que se han realizado “x” intentos hasta que se produjo el primer éxito. Esto significa que los “x-1” – ésimos intentos han sido fracasos y sólo el “x”-ésimo ha sido éxito. Como cada fracaso ocurre con probabilidad q = 0.3, siendo independientes los intentos, los “x-1” intentos ocurren con probabilidad q(x-1) y en conjunto: los fallidos con el exitoso ocurren con probabilidad (q(x-1) )(0.7). Luego la función de probabilidad de X será

p(x) = P(X = x) = (0.3)(x-1)(0.7)         para x = 1, 2, 3, ....

Ejemplo 25

Sea X la variable aleatoria definida como el número de cuentas que tiene un cliente en SUPER BANK. Suponga que la función de probabilidad de X está definida por

a) Qué porcentaje de clientes tiene?

a.1) exactamente dos cuentas?

a.2) a lo más dos cuentas?

b) El Gerente financiero de SUPER BANK afirma que “con las nuevas políticas adoptadas por SUPER BANK se ha logrado que más del 85% de nuestros clientes tengan al menos dos cuentas”. ¿Se puede decir que el Gerente tiene razón?

Solución

De los datos del problema podemos inferir que X es una variable aleatoria discreta. Ante todo encontremos el valor de k de forma que p(x) sea la f. de probabilidad de X.

Si ∑p(x) = 1 , entonces k+2k +k(5-3) = 1. Despejando k obtenemos k = 0.2

a)

a.1) Debemos encontrar p(2) = P(X = 2) = 0.2(5-3) = 0.4. Es decir, el 40% de clientes tienen exactamente dos cuentas.

a.2) Qué porcentaje de clientes tienen, a lo más dos cuentas, significa obtener la probabilidad de que X = 0, ó X = 1, ó X = 2. Es decir, debemos hallar P(X = 0 ó X = 1 ó X = 2) = p(0) + p(1) + p(2) = 0.0 + 0.2 + 0.40= 0.60. En otras palabras, el 60% de los clientes tiene a lo más dos cuentas.

b) Para saber si el Gerente tiene razón o no, debemos encontrar la probabilidad de que X sea mayor o igual a 2.

En efecto P(X ≥ 2) = p(2)+p(3) = 0.2(2) + 0.2(5-3) = 0.8.

Según esto, el 80% de los clientes tiene al menos dos cuentas en el banco, lo que contradice al Gerente, por lo que diremos que él no tiene razón.

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