Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Variables aleatorias independientes

Caso discreto:

Sea (X₁, X₂, ..., X_n) una variable aleatoria n-dimensional discreta donde p(x₁, x₂, ..., x_n) es su función de probabilidad conjunta y p(x₁), p(x₂), ... p(x_n) sus funciones de distribución marginal respectivas. Diremos que X₁1, X₂, ..., X_n son variables aleatorias independientes si p(x₁, x₂, ..., x_n) = p(x₁,)p( x₂,) ...,p(x_n)

Caso continuo:

Si (X₁, X₂, ..., X_n) es una variable aleatoria n-dimensional continua conf su distribución de probabilidad conjunta y g(x1), g(x2), ..., g(xn) son sus funciones de distribución marginales respectivas. Diremos que X1, X2, ..., Xnson variables aleatorias independientes si su función de densidad conjunta es el producto de sus respectivas distribuciones marginales. Esto quiere decir que f(x₁, x₂, ..., x_n) = g(x₁,)g( x₂,) ...,g( x_n)

Ejemplo 174

Dada la distribución de probabilidad conjunta de (X, Y), determine si X e Y son independientes o no.

Aplicando la definición, tenemos

Según la distribución conjunta p(0, 0) = P(X = 0 , Y= 0) = 0.2 y

Del mismo modo, P(X = 0) . P(Y= 0) = 0.3 x 0.4 = 0.12

Como existe un (x, y) en la cual no se cumple la definición, entonces X e Y no son variables aleatorias independientes.

Ejemplo 175

Dada la distribución de probabilidad conjunta de (X, Y), determine si X e Y son independientes o no.

Aplicando la definición, tenemos

Si p(0, 0) = 0.21 y P(X ≤ 0) . P(Y ≤ 0) = 0.3 x 0.7 = 0.21     ⇒     Se cumple

Si p(1, 0) = 0.14 y P(X = 1) . P(Y= 0) = 0.2 x 0.7 = 0.14     ⇒     Se cumple

Si p(2, 0) = 0.35 y P(X = 2) . P(Y= 0) = 0.5 x 0.7 = 0.35     ⇒     Se cumple

Si p(0, 1) = 0.09 y P(X = 0) . P(Y = 1) = 0.3 x 0.3 = 0.09     ⇒     Se cumple

Si p(1, 1) = 0.06 y P(X = 1) . P(Y= 1) = 0.2 x 0.3 = 0.06     ⇒     Se cumple

Si p(2, 1) = 0.15 y P(X = 2) . P(Y= 1) = 0.15     ⇒     Se cumple

Por tanto, como para todo (x, y) se cumple que p(x, y) = P(X = x, Y = y) entonces X e Y son variables aleatorias independientes.