Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (II)

Probabilidad en eventos equivalentes

Sea X una variable aleatoria y B un evento de RX. Sea A un evento de Ω equivalente con B. Si P(A) es la probabilidad de la ocurrencia de A y P(B) es la probabilidad de la ocurrencia de B, entonces P(A) = P(B) siempre que A y B sean eventos equivalentes, es decir siempre que A = {s ε Ω / X(s) ε B}.

Ejemplo 07

Tomando en cuenta el ejemplo anterior, sea B = {X / X = 0 }. El evento equivalente a B deberá ser A = {SSS}.

En consecuencia, P(B) = p(0) = P(X = 0) = P(X(SSS)) = P(A) = 1/8

Nota:

Evaluar probabilidades en el espacio rango de X es evaluar probabilidades en A.

Ejemplo 08

Si se lanza al aire una moneda tres veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener a lo más, dos caras?

El espacio muestral para este ensayo ya lo hemos visto. Según la pregunta, X se debe definir “como el número de caras obtenidas”, entonces definimos a B como “Obtener a lo más dos caras”.

Según esto, B = {0, 1, 2 } = {x / x ≤ 2 }. Y el evento equivalente a B será

A = {SSS, SSC, SCS, CSS, SCC, CSC, CCS }

Como se sabe, P(A) = 7/8. Si B y A son eventos equivalentes, entonces P(B) = 7/8.

Tipos de variable aleatoria

Una variable aleatoria es discreta si su espacio rango es finito (toma valores enteros) o numerablemente infinito (se puede identificar a cada uno de ellos y se puede ordenar) mientras que una variable aleatoria es continua si su espacio rango es infinito. Nota:

Si bien en el caso de una variable discreta el espacio rango se puede expresar por comprensión o extensión, en el caso de una variable continua sólo se puede expresar por comprensión mediante el uso de cualquiera de las forma de intervalo.

Ejemplo 09: De identificación

Diga si las siguientes variables aleatorias que se mencionan son discretas o continuas:

a) El número de caras que se obtiene al lanzar al aire una moneda 1000 veces

b) El tiempo que un cliente tarda en la cola de una caja hasta ser atendido

c) El tiempo que el cajero tarda en atender el cliente

d) El tiempo en minutos que un conductor espera para pagar el peaje en una garita

e) El número de alumnos que repiten el curso de Estadística en cierto semestre

f) El número de veces que un alumno se matricula en una determinada asignatura

g) El valor estimado en dólares de una casa de dos plantas

h) El número de cuentas por pagar que una oficina bancaria tiene en cierto momento

i) El número de kilómetros que recorre un taxista diariamente

j) El número de demandas por día que recibe una compañía de seguros

k) El número de accidentes que se registra anualmente en la Vía Expresa

l) El tiempo entre un accidente y otro durante un año, en la Vía Expresa

Solución

Son variables aleatorias discretas:

     a)      e)     f)     j)     k)

Son Variables Aleatorias Continuas:

    b)     c)     d)     g)     h)     i)     l)

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