Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (I)

4.1. VARIABLE ALEATORIA

Definición de variable aleatoria

Sea ζ un fenómeno aleatorio y Ω el espacio muestral asociado a dicho experimento. Diremos que la función X es una variable aleatoria si para cada elemento s del espacio muestral, le hace corresponder un número real x tal que x = X(s).

Es decir, X es una variable aleatoria si ∀ s ε Ω , ∃ un x ε RX / x = X(s)

Esto se aprecia en la siguiente figura.

Ejemplo 01 ζ 1: Supongamos que se lanza al aire una moneda tres veces. Si ζ es el fenómeno aleatorio, su espacio muestral será Ω = {SSS, SSC, SCS, CSS, SCC, CSC, CCS, CCC}. Si definimos a X como la variable aleatoria que representa "el número de veces que ocurra cara", entonces X(SSS) = 0; ; es decir, el número de caras obtenidas puede ser cero, y esto ocurre cuando se obtiene tres sellos; del mismo modo, se obtendrá una cara siempre que X(SSC) = X(SCS) = X(CSS) = 1; o dos caras cuando X(SCC) = X(CSC) = X(CCS) = 2 y también, X(CCC) = 3. De todo ello deducimos que, si se lanza una moneda tres veces y se define a X como el número de caras obtenidas, los posibles valores que tome X serán 0, 1, 2, 3. Luego el espacio rango de X será RX = { 0, 1, 2, 3 }.

Ejemplo 02 ζ 1: De un lote de productos, en donde el 10% son defectuosos, se elijen al azar a 5 de ellos. Si se define a X como el número de productos defectuosos seleccionados, entonces X tomará los valores: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Esto significa que el espacio rango de X será RX = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Ejemplo 03 ζ 1: De 5 varones y 4 damas, se elige un comité de tres miembros. Se define a X como el número de damas que pueden conformar el comité

En este caso X: 0, 1, 2, 3. Según esto, el espacio rango RX = {0, 1, 2, 3}.

Ejemplo 04 ζ 1: Una nave de combate lanza proyectiles a una vía férrea. Ésta quedará destruida si si el proyectil cae a 30 metros de la vía. Se define a X como la distancia entre el punto de impacto del proyectil y la vía férrea.

La variable aleatoria X en este caso, toma infinitos valores dentro de un rango; es decir, RX = { x ε R / -c ≤ x ≤ c }, donde "c" es la máxima distancia entre el punto de impacto del proyectil y la vía férrea.

Eventos equivalentes

Sea ζ un experimento aleatorio. Sea Ω el espacio muestral asociado a ζ. Sea X una variable aleatoria definida sobre Ω con RX su espacio rango.

Si B es un evento de RX; es decir, B está contenido en RX y A se define como A = { s ε Ω / X(s) ε B } entonces diremos que A y B son dos eventos equivalentes.

. En otras palabras, un evento B, del espacio rango es equivalente a otro evento A, del espacio muestral, si cada elemento del evento A del espacio muestral tiene como imagen otro evento B del espacio rango, según la definición de X.

Ejemplo 05

En el primer ejemplo visto en esta sección, vimos que si se define a la variable aleatoria X como el número de caras obtenidas, el evento B: “Obtener 0 caras” será equivalente con el evento A: “Obtener 0 caras”. En efecto, A = { SSS } y según la definición, B = {x / x = X(SSS) = 0 }. Si ocurre A entonces, y sólo entonces, ocurre B.

Ejemplo 06 Tomando el mismo ejemplo supongamos ahora que se define el evento B como “Salen por lo menos dos caras”. En este caso B = {x εRX/ x = 0, 1, 2 }; B = { 0, 1, 2 }. En el espacio muestral Ω debe ocurrir el evento A: “Obtener a lo más dos caras”, lo que por extensión se define como A = {SSS, SSC, SCS, CSS, SCC, CSC, CCS }.

En este caso

0 = X(SSS),

1 = X(SSC) = X(SCS) = X(CSS)

2 = X(SCC) = X(CSC) = X(CCS)

 

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