Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (XX)

Ejemplo 39

Sea X una variable aleatoria discreta. cuya función de probabilidad viene definida en la siguiente tabla:

Luego la función distribución acumulada, presentada de manera formal, es

Ejemplo 40

Se lanza al aire una moneda tres veces. Supongamos que se define la variable aleatoria X como X = nc – ns, donde ns representa el número de caras y ns representa el número de sellos obtenidos.

a) Encuentre el espacio muestral Ω

b) Obtenga el espacio rango de X, R_X.

c) Obtenga la distribución de probabilidad de X

d) Obtenga la distribución acumulada de X

e) Construya la gráfica de p(x) y F(x).

Solución

a) Los elementos de Ω son Ω = { SSS, SSC, SCS, CSS, SCC, CSC, CCS, CCC }

b) Puesto que al lanzar la moneda tres veces el número de caras,nc y ns el número de sellos puede variar de 0 a 3, entonces nc - ns = {-3, -1, 1, 3 }, por lo que

X toma los valores -3, -1, 1, 3; con lo cual R_X = { -3, -1, 1, 3 }

c) Daremos la siguiente explicación para encontrar p(x):

X = -3 si se obtiene 0 caras; es decir p(-3) = 1/8

X = -1 si se obtiene una cara y dos sellos, por lo que p(-1) = 3/8

X = 1 si se obtiene dos caras y un sello, por lo que p(1) = 3/8

X = 3 si se obtiene tres caras y cero sellos, por lo que p(3) = 1/8

Luego

d) Para obtener F(x), consideraremos los siguientes casos:

La gráfica de las dos funciones p(x) y F(x) se muestra en las figuras anteriores Caso continuo:

Si X es una variable aleatoria continua, la función de distribución acumulada de X, F(x), se define como

Observaciones

a) Si bien la evaluación y obtención de F en el caso discreto se presta a muchas operaciones engorrosas de cálculo, en el caso continuo el problema se convierte en utilizar adecuadamente los criterios matemáticos de integración(lo que en muchos casos también puede ser engorroso).

b) A diferencia del caso discreto donde P(X < k )=P( X ≤ k ) – P(X = k) = F(k) – p(k)

Si la variable aleatoria X es continua P(X < k ) = P( X ≤ k ). Y esto se demuestra matemáticamente ya que siendo

Evaluemos ahora la probabilidad del evento { X < k }.

Teorema

Si X es una variable aleatoria continua en el intervalo (a, b) y F es su función de distribución acumulada entonces P( a ≤ X ≤ b ) = F(b) – F(a)

Obtención de la función de distribución de probabilidad a partir de la distribución acumulada de la variable X.

Caso discreto:

Sea X una variable aleatoria discreta con valores posibles x₁, x₂, …, x_n, x_n+1, … . Si F es la función de distribución acumulada de X, entonces

p(x_i) = P( X = x_i) = F(x_i) – F(x_i-1) Esto es cierto ya que p(x_i) = P( X = x_i) = P(X ≤ x_i) – P(X < x_i)

= F(x_i) – P(X ≤ x_i-1 ) = F(x_i) - F(x_i-1)

El siguiente ejemplo nos exime de mayores explicaciones:

Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad está dada por

F(2) = P(X ≤ 2) = p(0) + p(1) + p(2)

F(1) = P(X ≤ 1) = p(0) + p(1)

Restando miembro a miembro y cambiándolos, tenemos: p(2) = F(2) – F(1)

Caso continuo:

Sea X una variable aleatoria continua con f su función de densidad de probabilidad.

a) Obtener la función de distribución acumulada de X

b) Usando F, obtener P(X < 1/2 )

c) Si se sabe que X es mayor que 1/2 , cuál es la probabilidad de que sea menor que3/4 ? Use F para evaluar esta probabilidad.

Solución

a) Por definición F(x) = P(X ≤ x )

b) Como X es una variable continua F(1/2) = P(X  1/2)= P(X < 1/2)=1/8

c) Se nos pide evaluar la probabilidad condicional del evento {X < ¾} dado el evento {X<1/2). Es decir