Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (XIX)

4.4 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

Caso discreto

Si X es una variable aleatoria discreta, para un valor xi de X, F(x_i) se define como

Propiedad 1:

0 ≤ F(x) ≤ 1, ∀ x εR, ya que F(x) es una función de probabilidad para todo valor de X = x del espacio rango de la variable. Y según sabemos, las funciones de probabilidades están limitadas entre 0 y 1.

Propiedad 2:

F(x) es una función no decreciente. Esto significa que si x₁ < x₂ , entonces F(x₁ ) ≤ F( x₂).

Propiedad 3:

F(œ ) = P(X < œ ) = 1. Y esto es cierto ya que el evento “X < œ “ incluye todos los valores posibles de X en su espacio rango.

F(- œ ) = P(X < - œ ) = 0. Contrario al caso anterior, el evento “X < -œ “ es un evento imposible por cuanto suponemos (y estamos convencidos) que no valores de X anteriores a -. Lo que implica que F(-œ) = P(X < -œ ) = P(œ ) = 0.

Propiedad 4

Sean x_k , x_k+1 ε R_X . Sea x ε R_X / x_k ≤ x < x_k+1 entonces F(x) = F(x_k ). Esto implica que F(x) es constante (gráficamente es un segmento horizontal) en todo el mencionado intervalo [x_k , x_k+1 ).

Propiedad 5

Si X es una variable aleatoria discreta, entonces

a) P( a ≤ x ≤ b ) = P( X ≤ b ) – P(X ≤ a) + P(X = a) = F(b) – F(a) + p(a)

Esto se puede verificar simplemente observando el siguiente esquema

Al restar P(X ≤ a) de P(X ≤ b), estamos restando P(X = a); como se pide la probabilidad en el intervalo donde se incluye a, entonces se debe sumar p(a). Similar explicación puede darse a los siguientes casos

b) P( a < X ≤ b ) = P(X ≤ b ) – P( X ≤ a) = F(b) – F(a)

c) P( a ≤ X < b ) = P(X ≤ b) – P(X ≤ a ) + P(X = a) – P(X = b) = F(b) - F(a) + p(a) - p(b)

d) P( a < X < b) = P(X ≤ b ) – P(X ≤ a) – P(X = b) = F(b) – F(a) – p(b)