Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (XVIII)

Ejemplo 37

Debido a la eficiente labor de publicidad desarrollada por una aerolínea de bandera nacional, la demanda de clientes se ha incrementado considerablemente a tal punto que la gerencia de operaciones se encuentra preocupada por el tiempo de vuelo entre Lima y el Cuzco. Si el tiempo de vuelo entre esas dos ciudades se define según la siguiente función de densidad de probabilidad

a) Qué porcentaje de vuelos tardará entre 84 y 96 minutos?

b) Si sólo el 5% de vuelos llega retrasado, cuál es el tiempo máximo para que un vuelo no llegue retrasado?

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como “El tiempo que tarda el vuelo entre Lima y el Cuzco”.

a) Según los datos,

b) Decir que un vuelo llega retrasado significa que el tiempo que tarda el vuelo debe ser mayor que un tiempo “límite”, digamos t0. Según el problema tenemos P(X> t0 )=0.05 Como lo que queremos saber es cuál es ese límite y no sobrepasarlo, debemos hallar t0 tal que P(X &e; t₀) = 0.05.

En efecto, P(X ≤ t0 )=0.05 implica que

P(X ≤ t0 )

de donde

t₀ = 180 + 0.05(20) = 181

Luego el tiempo máximo que debe tardar el vuelo para no llegar retrasado es 181 minutos.

Ejemplo 38

La duración (en horas ) de cierto producto perecible es una variable aleatoria continua X, cuya función de densidad de probabilidad viene dada por

a) Si un producto determinado todavía es aceptable después de 200 horas, cuál es la probabilidad de que dicho producto dure a lo más, 300 horas?

b) Se adquieren tres de tales productos. Cuál es la probabilidad de que ninguno tenga que ser reemplazado en las primeras 200 horas de uso? Cuál es la probabilidad de que los tres productos tengan que ser reemplazados durante las primeras 200 horas?. Cuál es la probabilidad de que, exactamente uno tenga que ser sustituida en las primeras 200 horas de uso?.

Solución

a) Sea X la variable aleatoria definida como la duración (en horas) de cierto producto.

Debemos encontrar la probabilidad condicional de que el producto dure a lo más 300 horas, sabiendo que estuvo funcionando (mayor de) después de 200 horas.

En efecto

b) i) Definamos el evento M: “Ningún producto tenga que ser reemplazado en las primeras 200 horas de uso”.

Según esto, debemos encontrar primero la probabilidad de que uno de ellos no tenga que ser reemplazado antes de las 200 horas. Esto es debemos hallar P( X > 200 ).

Ahora, encontrar P(M) significa evaluar P(M) = P(X>200)³. Luego P(M) = 27/64

ii)Sea N el evento “Los tres transistores deben ser reemplazados en las primeras 200 horas”.

Esto es P(N) = P(X ≤ 200)³ = (1 – P(X > 200) )³ = (1 – 3/4 )³ = 1/64

Definamos ahora el evento R : “Exactamente uno de los tres productos deben ser reemplazados en las primeras 200 horas de uso”.

Según esto, sólo uno de los tres productos debe ser reemplazado. Esto implica el uso de combinaciones para hallar el número de maneras de elegir uno de un total de tres. Esto multiplicar por la probabilidad de que uno de ellos se reemplaza antes de las 200 horas y los otros dos, después de las 200 horas.

Luego P(R) = C(3, 1)P(X ≤ 200) P(X > 200)² = 3(1/4)(3/4)² = 27/64.