Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 86

Una máquina produce cierto tipo de piezas, de las cuales el 5% en promedio son defectuosos. En una muestra aleatoria de 5 piezas ¿cuál es la probabilidad de obtener a) exactamente dos piezas defectuosas? b) por lo menos una pieza defectuosa?

Solución

En este ejemplo la probabilidad de extraer una pieza defectuosa es 0.05. Esta probabilidad sigue siendo la misma cuando se extrae la segunda o las siguientes piezas, hasta completar los 5 de la muestra. No sabiendo cuántas defectuosas tiene el lote, supondremos que la probabilidad de éxito(la de extraer una pieza defectuosa) es constante. Por ello si X representa el número de piezas defectuosas en la muestra, entonces diremos que X tiene distribución Binomial y X → B(n=4, p=0.05).

Luego p(x) = P(X = x) = C(5, x)(0.05)x(0.95)5-x,     para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Respondamos ahora a las preguntas:

a) Exactamente dos piezas defectuosas significa encontrar

p(2) = P(X = 2) = C(5 , 2)(0.05)²(0.95)3 = 0.02143

Usando Excel:

P(X = 2) = Distr.Binom(2,5,0.05,0)

b) Por lo menos una pieza defectuosa significa es P(X ≥ 1)

P(X ≥ 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – C(5, 0)(0.05)0(0.95)5 = 0.22622

Usando Excel:

P(X ≥ 1 ) = 1 – P(X < 1) = 1 – Distr.Binom(0,5,0.05,1)

Ejemplo 87

La probabilidad de hacer una venta en un intento, de cierto vendedor, es 1/2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener

a) exactamente dos ventas en tres intentos de ventas consecutivas?

b) ¿por lo menos una venta en tres intentos de ventas consecutivas?

c) ¿Cuántos intentos de ventas consecutivas deben hacerse para obtener una seguridad de 0.9375 de obtener por lo menos una venta?

Solución

a) Si definimos a X como “El número de ventas en tres intentos de ventas consecutivas” y p = 0.5, con n = 3, diremos que X tiene distribución binomial con función de probabilidad definida por

p(x) = P(X = x) = C(3, x)(0.5)x(0.5)3-x = C(3, x)(0.5)3 , x = 0, 1, 2, 3

Según esto,

p(2) = P(X = 2) = C(3,2)(0.5)3 = 0.375

b) Por lo menos una venta significa que ocurre el evento X ≥ 1. Por lo que debemos encontrar P(X ≥ 1). Como P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0), entonces P(X ≥ 1) = 0.875

c) Por lo menos una venta significa X ≥ 1. De acuerdo a los datos, su probabilidad de ocurrencia es P(X ≥ 1) = 0.9375; es decir,

P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) = 0.9375, de donde P(X = 0) = 0.0625

De acuerdo a la función de distribución,

P(X = 0) = C(n, 0)(0.5)n = 0.5n = 0.0625

Tomando logaritmo a ambos miembros tenemos n = Ln(0.0625)/Ln(0.5) = 4.25

Luego el número de intentos necesarios será 4, para tener la probabilidad de por lo menos una venta igual a 0.9375.

 

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