Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 88

Suponga que la máquina A produce el doble de artículos que la máquina B. Se sabe que el 6% de los artículos que produce la máquina A son defectuosos, mientras que solo el 3% de los artículos producidos por la máquina B son defectuosos. Si al final de un día de producción se juntan las dos producciones y de ella se toma una muestra aleatoria de 10 artículos, calcular la probabilidad de obtener tres artículos defectuosos.

Solución

El diagrama de árbol grafica claramente la característica del problema. Como lamáquina A produce el doble de artículos que la máquina B, entonces, al seleccionar un producto, la probabilidad de que este provenga de la máquina A es 2/3, y de que provenga de la máquina B es 1/3.

Por otro lado, un defectuoso puede provenir de la máquina A o de la máquina B; es decir la probabilidad de obtener un producto defectuoso del total de la producción de un día es p = (2/3)(0.06) + (1/3)(0.03) = 0.05. Esta es la probabilidad de éxito; la probabilidad de extraer un producto defectuoso.

Ahora volvamos al problema. Si X es el número de productos defectuosos en una muestra de n = 10 artículos, entonces X tiene distribución binomial con parámetros n = 10 y p = 0.05.

Luego su función de distribución es

p(x) = P(X = x) = C(10, x)(0.05)^x(0.95)^10-x     ;     x = 0, 1, 2, 3, …, 9, 10

Con lo cual

p(3) = P(X = 3) = C(10, 3)(0.05)³(0.95)⁷ = 0.01047

Ejemplo 89

El departamento de finanzas de una empresa capitalina contrata los servicios de dos empleados a tiempo parcial: Yaco y Báslavi. Yaco trabajará los Lunes, Miércoles y Viernes, mientras que Báslavi lo hará los Martes, Jueves y Sábado. Yaco archivó erróneamente uno de cada cinco documentos, mientras que Báslavi lo hace uno de cada seis. Con el propósito de evaluar los errores que ellos cometen, se elige un día de la semana y en ese día se toma una muestra de 6 documentos.

¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga exactamente tres documentos mal archivados?

Suponiendo que la muestra contiene exactamente tres documentos mal archivados, ¿cuál es la probabilidad de que hayan sido archivados por Yaco?

Solución

Definamos la variable aleatoria X como el “Número de documentos mal archivados”. En primer lugar el número de documentos mal archivados por Yaco y por Báslavi es constante. Yaco archiva mal con probabilidad 1/5 y Báslavi, con probabilidad 1/6. Como la muestra de la que se extrae los documentos a ser examinados es n = 6, entonces X → B(n=6, p).

Encontremos el valor de p: la probabilidad de que el documento seleccionado de la muestra sea defectuoso.

Como Yaco y Báslavi trabajan el mismo número de días de la semana, la probabilidad de que se haya elegido uno de los días en los cuales trabaja Yaco, es 1/2. De suerte que la probabilidad de extraer un documento mal archivado por Yaco será p = (1/2)(1/5) + (1/2)(1/6) = 11/60, por cuanto Yaco archiva mal uno de cada 5, mientras que Báslavi lo hace uno de cada 6.

Ahora respondiendo a las preguntas, tenemos:

p(3) = P(X = 3) = C(6, 3)(11/60)³(49/60)³ = 0.0671

Sea X la variable aleatoria definida como el Número de documentos mal archivados.

Sea A el evento definido como “El documento fue archivado por Yaco”

Sea B el evento “Hay 3 documentos mal archivados”; es decir B = {x / x = 3 }

Según esto debemos buscar la probabilidad P(A/B).

Como P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B). Debemos encontrar P(A ∩ B) ya que P(B) = 0.0671

P(A ∩ B) = P(A ∩ X = 3) = 0.5xC(6,3)(0.2)³x(0.8)³ = 0.04096

Luego

P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B) = P(A ∩ X = 3) / P(X = 3) = 0.61019857