Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 94

En una feria, comprando un boleto de 10 pesos se puede participar en un juego que consiste en lanzar 6 argollas para insertarlo en una botella de madera. Los premios del juego son:

Una bolsa de caramelo(valor de un peso), al insertar de 1 a 3 argollas

Un tarro de duraznos(valor de 4 pesos), al insertar 4 argollas

Una botella de vino(valor de 17 pesos), al insertar 5 argollas

Una caja de cigarrillos(valor 31 pesos), al insertar las 6 argollas

Sabiendo que el jugador promedio tiene una probabilidad de 1/3 de insertar una argolla y que al día se vende en promedio 729 boletos; ¿cuáles son los ingresos netos diarios que el dueño del juego espera obtener.

Solución

Sea X la variable aleatoria que representa “El número de argollas insertadas al lanzar 6 de ellas”. Según esto, los valores de X son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Definimos a p = 1/3, la probabilidad de éxito de insertar una argolla. Como las 6 argollas representan la repetición de un ensayo de Bernoulli, entonces X tiene distribución Binomial B(n=6, p = 1/3), cuya función de densidad viene dada por

Si definimos a Y como la “Ganancia neta del dueño del juego”, entonces los valores que toma se muestran en el esquema anterior, con p(yi) = p(xi) , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Debemos aclarar que ocurre Y = 9 cuando X = 1 ó X = 2 ó X = 3 con lo cual p(9) = 592/729

Encontremos ahora E[Y]:

E[Y] = (10)(64/729) + (9)(592/729) + (6)(60/729) + (-7)(12/729) + (-21)(1/729) = 6223

Es decir, la ganancia neta que el dueño espera recibir diariamente será de 6223 soles.