Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 92

El tiempo de arribo de clientes a la ventanilla de un banco, X, medido en minutos, es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad viene dada por

Si con el propósito de estudiar el comportamiento de los clientes se elige una muestra aleatoria de 8 personas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de las personas elegidas tengan un tiempo de llegada menor de 3 minutos?

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como el tiempo de llegada a la ventanilla de un cliente. Esta es una variable continua. Puesto que se elige una muestra de 8 personas, y cada una de ellas tiene un tiempo de arribo determinado, estamos hablando entonces de otra variable: aquella que nos indica que pueden llegar 0, 1, 2,..., 7, 8 personas con un tiempo de arribo menor de tres minutos. Por ello definiremos a Y como la variable que representa “Número de personas que llegan en menos de 3 minutos a la ventanilla”. Según esto, los valores de Y serán 0, 1,..., 7, 8. Esta variable Y tiene distribución binomial con parámetros n = 8 y p, la probabilidad de éxito que viene dada por la probabilidad de que el valor de X sea menor de 3 minutos; es decir,

Ejemplo 93

El 1% de habitantes de una cierta ciudad de Latinoamérica sufre de problemas de daltonismo. Si con propósitos de estudio se selecciona aleatoriamente, un conjunto de n habitantes de dicha ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de los n habitantes sean daltonianos? ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra elegida para que esta probabilidad sea menor al 10%?

Solución

Sea n el tamaño de la muestra y X la variable aleatoria definida como “El número de habitantes que tienen daltonismo”. Como la probabilidad de que un habitante cualquiera de dicha ciudad sea daltoniano es 0.01, entonces la probabilidad de éxito, p = 0.01; como el hecho de que uno de ellos sea daltoniano o no lo sea, no implica que algún otro lo sea, entonces X → B(n, p = 0.01).

Luego p(x) = P(X = x) = C(n, x) 0.01^x0.99^n-x,       x = 0, 1, 2, ..., n.

Si definimos el evento

A: “Ninguno de los habitantes es daltoniano”, entonces A = {X/ X = 0} P(A) = P(X = 0) = 0.99ⁿ

Ahora se trata de encontrar el valor de n, con la siguiente condición:

“La probabilidad de que ningún habitante sea daltoniano sea menor que 0.1”

Esta condición podemos expresarla simbólicamente como P(X = 0) < 0.1. Si resolvemos esta inecuación, hallaremos el valor para n, ya que P( X = 0 ) = 0.99ⁿ

Según a) tenemos P( X = 0) = 0.99ⁿ = 0.01 (Es suficiente encontrar una cota superior en la desigualdad, lo que nos permite resolver en términos de una ecuación).ⁿ 0.99ⁿ = 0.01 implica que ⁿ n Ln 0.99 = Ln 0.01, de donde n = 227, aproximadamente.