Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 96

Sea X una variable aleatoria con distribución Hipergeométrica de parámetros N = 10, r = 6 y n = 5. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: El rango de X es R_X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

La distribución de probabilidad de X es p(x) = 1/252 C(6, x) C(4, 5-x), x = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

El valor esperado de X es 3

La desviación estándar de X es 2

El valor esperado de X² es 2

El 100% de los valores de X son mayores que cero

Solución

Si X → H(N=10, r = 6, n = 5) entonces su función de distribución es p(x) = C(6, x) C(4, 5-x) / C(10, 5) , x = 0, 1, 2, 3, 4, 5       (1)

donde μ = n r/N y σ² = r/N (1 - r/N)((N-n) / (N - 1))     por lo que μ = 3 y σ² = 0.66667

Ahora veamos la verdad o falsedad de las proposiciones

Puesto que el tamaño de las muestra es n = 5 y r = 6, X toma valores 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Por tanto R_X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Luego es verdadera.

Dada la distribución en (1), resolviendo el denominador tenemos C(10,5) = 252. Luego la distribución de X puede ser expresada como se muestra. Verdadera.

El valor esperado de X, por lo que hemos visto, es  = 3 . Luego es verdadera.

Si σ² = 0.66667 entonces σ = 0.81649. La proposición es falsa.

Si V[X] = 0.66667 y V[X] = E[X²] – (μ²) entonces E[X²] = 9.66667. Falsa.

P(X > 0 ) = 1 – P(X = 0 ). El evento X = 0 significa extraer 0 de aquellos que cumplen cierta propiedad y por tanto, 5 de aquellos que no la cumplen. Puesto que éstos sólo son 4 y la muestra consta de 5, debemos extraer entonces, necesariamente un elemento de los que tienen la propiedad, es decir nunca ocurre el evento X = 0, por lo que P(X = 0) = 0. Luego P(X > 0 ) = 1. Por ello la proposición es verdadera.

Ejemplo 97

En una localidad muy alejada de la capital, se impugnaron los resultados de un proceso electoral. Por ello el Jurado Nacional de Elecciones procedió a examinar 10 mesas con un total de 1450 votos. De acuerdo a las actas del escrutinio, se tenía 48 votos impugnados. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir 5 votos del total de las 10 mesas, se encuentren por lo menos, 2 votos impugnados?

Solución

De acuerdo al esquema, X → H(1450,48,5)

Por ello p(x) = P(X = x) = C(48, x) C(1402, 5-x) / C(1450, 5)     x = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Sea A es el evento “Se encuentren por lo menos dos votos impugnados”.

P(A) = 1 – P(A’) = 1 – P(X < 2 ) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1 ) = 1 - 0.84488 + 0.6057 = 0.145

En Excel

P(A) = P( X ≥ 2 ) = 1 – P(X < 2) = 1 – P(X ≤ 1 ) = 1 – Distr.Hipergeom(1,5,48,1450).

Ejemplo 98

María José, es la encargada de la elaboración de la planilla para los 11 trabajadores de su empresa. Debido a su estado emocional de ese día, confecciona 7 nóminas con errores. Puesto que esta no es la única vez que comete ese tipo de error, el Gerente de la empresa se encuentra descontento. Con la intención de tomar decisiones elige 5 nóminas aleatoriamente y encuentra errores en tres de ellas. La Señorita María José se defiende argumentando que el porcentaje de error es muy bajo para ser tomado en cuenta. ¿Cree Ud. que este es un buen argumento?. ¿La teoría de probabilidades respalda este argumento?

Solución

De acuerdo a los datos, consideraremos como tamaño de la población, N = 11, con r = 7; tamaño de muestra, n = 5.

Sea X la variable aleatoria que representa el “Número de nóminas confeccionadas con error”. Según esto X  H(11, 7, 5).

Debemos hallar la probabilidad de que el número de errores en la muestra sea igual a 3. Si esta probabilidad es pequeña(digamos menor que 0.1), diremos que el argumento de la Señorita María José es válido y la teoría de probabilidades respalda su argumento, en caso contrario, estará equivocada y como tal, sus errores son probabilísticamente altas. Veamos

P(X = 3) = C(7, 3) C(4, 2) / C(11, 5) = 0.4545455

Luego el argumento de la Señorita María José no es válido