Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

4.9.3.Distribución de Poisson

Sea X una variable aleatoria discreta que toma valores 0, 1, 2, ..., n-1, n, n+1, ... Diremos que X tiene Distribución de Poisson cuyo parámetro es λ y su función de probabilidad es

Notación

Usaremos la notación X → P(λ) para indicar que X tiene una distribución de Poisson.

Teorema

Si X una variable aleatoria con distribución de Poisson, entonces μ = λ y Σ² = λ.

Observación

El programa Excel no dispone de una función que permita evaluar probabilidades cuando se trata de variables con distribución de Poisson.

Ejemplo 99

Si X es una variable aleatoria con distribución de Poisson, con parámetro λ y si P(X = 0) = 0.2. Calcular P(X > 2).

Solución

Si X tiene distribución de Poisson con λ de parámetro, entonces p(x) = eλx / x!.

Como P(X = 0) = eλ0 / 0! = 0.2 entonces p(0) = = 0.2, de donde e = 0.2. Tomando logaritmo neperiano tenemos -λ = Ln(0.2), con lo cual λ = 1.6094.

Luego P(X > 2 ) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – [p(0) +p(1) + p(2) ] = 1 – 0.2(1 + 1.6094 + 1.6094²/2)

P(X > 2 ) = 0.21908

Ejemplo 100

Suponga que X es una variable aleatoria con distribución de Poisson.

Si P(X = 2) = 2/3 P(X = 1). Calcular P(X = 0) y P(X = 1)

Solución

Como P(X = 2) = 2/3 P(X = 1)   entonces eλ2 / 2!

.Al simplificar encontramos λ = 4/3.

Luego P(X = 0) = e-4/3(4/3)0 / 0! = e-4/3 ) = 0.26359

Del mismo modo, P(X = 1) = e-4/3(4/3)1 / 1! = 0.35146

 

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