Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 101

Si X es una variable aleatoria con distribución de Poisson tal que el 85% de sus valores son mayores o iguales que 1, ¿cuál es la probabilidad de que X tome como valor 2?

Solución

Si X → P(λ), entonces p(x) = P[X=x] = eλx / x!.

Por ello, según los datos P(X ≥ 1) = 0.85.

Resolvamos esta ecuación para encontrar &lambda: y después encontrar P(X = 2).

P(X ≥ 1) = 0.85 implica que 0.85 = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0), de donde e-&lamba;λ0 / 0! = 0.15.

Resolviendo para λ, tenemos λ = 1.8971

Por tanto P(X = 2) = (0.15)0.8971192 / 2! = 0.26993

Ejemplo 102

El número de embarcaciones que llegan diariamente al muelle de Huacho tiene una distribución de Poisson con parámetro λ = 2. Las actuales instalaciones portuarias pueden atender un máximo tres embarcaciones por día. Si en un día determinado llegan más de 3 embarcaciones, todos los excedentes deben ser enviados al muelle de Huaura.

En un día determinado, ¿cuál es la probabilidad de enviar embarcaciones a Huaura?

¿En cuánto deben ampliarse las actuales instalaciones portuarias de Huacho para permitir la atención de aproximadamente el 90% de la demanda diaria?

¿Cuál es el número esperado de embarcaciones que llega diariamente?

¿Cuál es el número más probable de embarcaciones que llegan diariamente?

¿Cuál es el número esperado de embarcaciones atendidos diariamente?

¿Cuál es el número esperado de embarcaciones enviados a Huaura diariamente?

Solución

Si X → P(λ = 2) entonces p(x) = P[X=x] = eλx / x!. , aquí X se define como “El número de embarcaciones que llegan al muelle de Huacho diariamente”. De acuerdo a esto

Si la capacidad de atención del muelle es hasta 3 embarcaciones, se debe enviar al muelle de Huaura siempre que X > 3. Esto se hace con probabilidad

Sea K la capacidad máxima de atención del muelle de Huacho después de ampliar hasta aproximadamente el 90% . La pregunta consiste en encontrar el valor de K.

Para ello tomemos en cuenta la suma de los valores dentro del paréntesis y que están indicados por las flechas. Dicha suma, como lo indica el lado derecho, es 0.85712. Si a ello le sumamos P(X = 4) = 0.09022, tendremos 0.94735. Esto quiere decir que si hacemos K = 4 entonces P(X ≤ 4 ) = 0.94735. Luego las instalaciones portuarias debieran ampliarse de tal forma que pueda atender hasta 4 embarcaciones, en aproximadamente el 90% del tiempo.

Por otro lado, puesto que E[X] = λ, siendo X la variable aleatoria que representa “El número de embarcaciones que llegan al muelle diariamente”, entonces  = E[X] representa el “Número esperado de embarcaciones que llegan diariamente”, esto es μ = λ = 2.

Ante todo diremos que “El número más probable” es el valor que toma una variable aleatoria para el cual se tiene el mayor valor de probabilidad que en todos los otros valores de la misma. Es decir, K será el valor más probable de X siempre que se cumpla que p(K) ≥ p(x), ∀x / x ε RX . En el problema esto ocurre cuando X = 1 ó cuando X = 2. Luego es muy probable que lleguen al muelle de Huacho uno o dos embarcaciones diariamente.

Sea Y la variable aleatoria que representa “El número de embarcaciones atendidos diariamente”. Siempre que X  3 se atiende a la embarcación. Esto ocurre con P(X3)= 0.85712. Si por otro lado llegan en promedio dos embarcaciones, entonces El número esperado de embarcaciones atendidas será 2(0.85712) = 1.71424.

Igualmente, si cuando ocurre X > 3 se envía embarcaciones a otro muelle, y esto ocurre con P(X > 3 ) = 0.14288, el número esperado de embarcaciones enviadas a otro muelle será 2(0.14288) = 0.28576

 

Pág. 4.54

Atrás  Inicio  Adelante





Página inicial  Cursos Informática Gratuitos

Síguenos en:   Facebook       Sobre aulaClic            Política de Cookies