Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Aproximación de Poisson a una binomial

Supongamos que se tiene la siguiente situación: El 6% de vehículos que transitan por las calles de Lima Metropolitana tienen tubos de escape defectuosos. Si un día determinado se seleccionan al azar a 100 automóviles y se les examina el tubo de escape, ¿Cuál será la probabilidad de que más de 20 de estos vehículos presenten un tubo de escape defectuoso?

Si definimos a X como “El número de automóviles cuyo tubo de escape es defectuoso”, con p = 0.06 y n = 100 entonces X B(n = 100, p = 0.06).

Esto ocurre cuando la probabilidad de éxito “p” es pequeño y n es lo suficientemente grande.

Una forma de obtener un resultado más aceptable es aproximar la solución mediante la distribución de Poisson.

Siendo X → B(n, p) con μ = np, y sabiendo que en el caso de una Poisson λ = μ, podemos utilizar la distribución de Poisson como una forma de aproximar problemas con distribución Binomial.

Teorema

Sea X una variable aleatoria distribuida binomialmente B(n, p) cuya función de distribución es

Ejemplo 103

Supóngase que la probabilidad de que un artículo producido por una máquina especial sea defectuoso es igual a 0.2. Si se seleccionan aleatoriamente 10 artículos producidos por esta máquina, ¿cuál es la probabilidad de que no se encuentre más de un artículo defectuoso? Use la distribución binomial y la de Poisson y luego compare los resultados.

Solución

Definamos a X como “El número de artículos defectuosos extraídos”. Según los datos del problema la probabilidad de éxito es p = 0.2 y el tamaño de muestra(número de repeticiones del experimento) es n = 10. Está demás decir que la variable tiene una distribución binomial con parámetros n y p. Por ello es natural responde a la pregunta resolviendo

Si bien n = 10 no es suficientemente grande y p = 0.2 no es muy pequeño, de acuerdo a lo pedido en el problema, encontraremos una solución aproximada por la distribución de Poisson: En este caso μ = np = 10(0.2) = 2.

Por ello

Puesto que n y p no satisfacen adecuadamente las condiciones para usar el teorema, es lógico que la aproximación no sea buena.

Veamos el siguiente ejemplo

Ejemplo 104

Una compañía de seguros ha descubierto que sólo alrededor del 0.1 por ciento de la población tiene cierto tipo de accidente cada año. Si 10,000 asegurados fueran seleccionados aleatoriamente de la población, ¿cuál será la probabilidad de que no más de 5 de estos clientes tengan un accidente de este tipo el próximo año?

Solución

Sea X la variable definida como “Número de clientes de dicha compañía de seguros que tiene ese tipo de accidentes al año”. X  B(n=10000, p=0.001). Si Ud. compara los datos de este problema con el anterior, verá claramente que debemos usar casi necesariamente el Terorema de la aproximación por Poisson. Por ello,  = np = 10000(0.001) = 10. Luego

Sugerimos a nuestro amable lector que encuentre la probabilidad pedida por Binomial. Creemos que en este caso el resultado debe ser 0.066991373, que ahora sí vale la pena aproximar por Poisson.