Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 105

En una planta ensambladora de equipos eléctricos han ocurrido cierto tipo de accidentes a razón de uno cada dos meses. Suponiendo que estos accidentes ocurren de forma independiente, ¿cuál es el número esperado de accidentes al año?. ¿Cuál es la desviación estándar del número de accidentes al año?. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya accidentes de este tipo en un determinado año?

Solución

Si definimos a Y como el Número de accidentes cada mes, entonces Y es una variable aleatoria con distribución de Poisson en el cual la probabilidad de un accidente es p = 1/2

Puesto que los accidentes ocurren en un período de tiempo cuya longitud es de un año, definiremos a X como “El número de accidentes que se registra al año”. De acuerdo a esto, diremos que X sigue un proceso poissoniano por ello  =rp = 12(½) = 6.

El número esperado de accidentes al año es μ = λ = 6.

Como la varianza es la misma que la media, entonces %σ = √6 .

Finalmente P(X = 0 ) = e-6(6)0/0! = 0.60653

Ejemplo 106

Suponga que el número de reclamos que recibe cierta compañía telefónica, por semana, sigue una Ley de Poisson, de manera que la probabilidad de que ocurran dos reclamos es 2/3 de la probabilidad de que ocurra un reclamo. Calcular la probabilidad de que no ocurra ningún reclamo en tres semanas consecutivas.

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como “El número de reclamos recibidos en una semana”. Como X tiene distribución de Poisson con parámetro λ, entonces p(x) = e^-λλ^x / x!. Por otro lado, puesto que P(X = 2 ) = P(X = 1) entonces de donde λ = 4/3.

Esto significa que el número de reclamos que la compañía telefónica reciba en un período de una semana es 4/3. Para responder a la pregunta definiremos otra variable Y que representa “El número de reclamos recibidos en tres semanas”. De acuerdo a lo dicho en el proceso poissoniano, Y tendrá también una distribución de Poisson con parámetro λ = rt = 3(4/3) = 4.

Por ello P(Y = 0 ) = e^-44^-0 / 0! = 0.018316

Ejemplo 107

Se estima que un libro de 400 páginas contiene 400 errores tipográficos repartidos aleatoriamente en todo el libro. Si se supone una distribución de Poisson, ¿cuál es el número de páginas que contienen

ningún error?

exactamente un error?

más de dos errores?

Si se seleccionan aleatoriamente 10 páginas de dicho libro, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas tenga errores? Que 8 páginas no tengan errores?

Solución

Ante todo y de acuerdo a las primeras tres preguntas, definamos a X como “Número de errores por página”. Puesto que los errores se distribuyen por todo el libro, la probabilidad de que una página contenga un error de los 400 errores que hay, constituye la probabilidad de éxito p = 1/400, el cual guarda relación con la variable X. Por ello λ = np = 400(1/400) = 1 representa el número de errores por página del libro y es el parámetro de la distribución de X.

Luego, como X se define como número de errores por página.

P( X = 0 ) = e^-1 = 0.36789 con lo cual,

El número de páginas sin errores = 400(0.36789) = 147.152

Como P(X = 1) = 0.36789 entonces, el número de páginas con un error = 147.152

Si P(X > 2 ) = 1 – P(X ≤ 2) = 1- e^-1 (1 + 1 + 1/2) = 0.0803. Por tanto, el número de páginas con más de 2 errores será 400(0.0803) = 32.12

Definamos ahora a Y como el “Número de páginas sin error tipográfico”. Piense un poco en la forma cómo se define a X y para qué y también porqué debemos definir otra variable como Y, y por qué así.

En este caso, como se eligen 10 páginas, y Y es el número de páginas sin error, la probabilidad de éxito: que una página no tenga error es p = P(X = 0) = 0.36789.

Con este nuevo dato,

P(Y = 0) = C(10, 0)0.36789⁰(1-0.36789)¹⁰ = 0.010184

P(Y = 8) = C(10, 8)0.36789⁸(1-0.36789)² = 0.0060319