Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 108

Suponga que un libro de 585 páginas contiene 43 errores tipográficos. Si estos errores se distribuyen aleatoriamente a través del libro, ¿cuál es la probabilidad de que 10 páginas seleccionadas al azar, no contengan errores?

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como “Numero de errores por página”. Según esto X puede tomar valores 0, 1, 2, ..., 43.

La probabilidad de que un error caiga en una página es p = 1/585. Usando el proceso poissoniano, X → P(λ) donde λ = np = 43(1/585) = 43/585.

Luego, la probabilidad de que una página tenga 0 errores es p(0) = P(X=0) = e^-43/585 =0.929

Por otro lado, para responder a la pregunta debemos definir otra variable tal como Y que represente: “Número de páginas sin errores”. Y de acuerdo a esta definición, la probabilidad de éxito será p = 0.929. Como por los datos Y → B(n=10, p = 0.929), entonces P(Y = 10) = C(10,10) 0.929¹⁰(1-0.929)⁰ = 0.4788

Ejemplo 109

Suponga que un libro de 1000 páginas contiene 500 errores tipográficos. Si estos errores se distribuyen aleatoriamente a través del libro,

¿Cuál es la probabilidad de que 2 páginas, de 10 seleccionadas al azar, no contengan errores.

¿Cuál es el número de páginas que no contienen errores?

¿Cuál es el número de páginas que contienen exactamente un error?

Solución

Como en los dos ejemplos anteriores, definamos a X como la variable que representa “El número de errores por página”. Por ello su probabilidad de éxito es p = 1/1000; es decir, la probabilidad de que un error caiga en una página. Como son 500 los errores, definimos a λ = 500(1/1000) = 0.5 como el parámetro de la distribución de X(Poisson). Por ello, la probabilidad de que una de las 1000 páginas no contengan error es P(X = 0 ) = e^-0.5 = 0.6065.

Sin embargo, para responder a la pregunta en a) debemos definir otra variable Y que represente “Número de páginas que no contienen errores”. En cuyo caso, su probabilidad de éxito es p = P(X = 0) = 0.6065 y Y → B(n = 10, p = 0.6065). Por tanto

P(Y = 2 ) = C(10, 2)0.6065²0.3935⁸ = 0.009515

El número de páginas que no contienen ningún error es 1000(0.6065) = 607

Volviendo a la distribución de probabilidad de X, debemos hallar P(X = 1), el cual es P(X = 1 ) = e^-0.5 (0.5) = 0.30325. Por lo que, el número de páginas que contengan exactamente un error será 1000(0.30325) = 303