Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Distribución geométrica

Sea ζ un experimento. Supongamos que estamos interesados en la ocurrencia o no de un evento, digamos A. Supongamos también que la probabilidad de que ocurra A es p, en cuyo caso diremos que ocurre éxito. Contrario a ello, q = 1 – p representa la probabilidad de la no ocurrencia de A, es decir, q es la probabilidad de fracaso.

Si este experimento se realiza indefinidamente “hasta que ocurra A, por primera vez” y definimos a X como el “Número de veces que se repite el ensayo hasta obtener éxito por primera vez”, diremos que X tiene distribución Geométrica con parámetro “p” cuya función de probabilidad viene dada por

p(x) = P(X = x) = p q^x-1,       x= 1, 2, 3, ....

Notación

X → G(p) significará que X es una variable aleatoria que tiene distribución geométrica con parámetro p.

Teorema

Si X es una variable que tiene distribución Geométrica entonces

μ = 1/p;       σ² = q/p²

Ejemplo 110

Sea X una variable aleatoria que tiene una distribución geométrica con parámetro p = 0.2. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

El rango de X, es R_X = {0, 1, 2, 3, .....}

El valor esperado de X es 2

La varianza de X es 1/4

Como p = 0.2, el valor esperado de X² es 0.04

El 80% de los valores de X son mayores que 1

Solución

Puesto que X representa el número de veces que se realiza el experimento hasta que ocurra el primer éxito, X no puede tomar valor 0. Luego la proposición es falsa

De acuerdo al teorema, si E[X] = 1/p, y p = 0.2 entonces E[X] = 5. Es falsa la proposición

Como V[X] = q/p² = 0.8/0.04 = 20. La proposición es falsa.

Si V[X] = 20 y E[X] = 5 entonces E[X²] = V[X] + E[X]² = 25. Es falsa

P(X > 1) = 1 – P(X = 1 ) = 1 – pq0 = 0.8. La proposición es cierta