Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 111

Un juego de dados consiste en lanzar el dado hasta que salga un número múltiplo de 3. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el juego en el quinto lanzamiento?

Solución

Puesto que el experimento consiste en lanzar una moneda hasta obtener un 3 o un 6, definamos a X como “El número de veces que debe lanzarse el dado hasta obtener por primera vez un número múltiplo de 3”.

Si definimos el evento A como “Se obtiene un número múltiplo de 3” entonces A = {3, 6} por lo que p = P(A) = 1/3 es la probabilidad de éxito, de obtener un número múltiplo de 3.

Luego por la definición de X diremos que tiene distribución geométrica X → G(p=1/3). Para que ocurra A en el quinto lanzamiento del dado, entonces debe ocurrir el evento X = 5. Por ello P(X = 5) = 1/3 (1-1/3)⁴ = 16/243 = 0.06584

Ejemplo 112

Se lanza el dado hasta que aparezca el 5. ¿Cuál es la probabilidad de que haya que lanzarlo más de 6 veces?

Solución

Como en el ejemplo anterior, sea X la variable aleatoria definida como el “Número de veces que se debe lanzar el dado hasta que aparezca el 5”. Aquí, X G(p = 1/6), por lo que debemos encontrar la ocurrencia del evento “X > 6”.

Ejemplo 113

En una población muy grande el 25% de las personas tienen ojos azules. Si se escogen aleatoriamente voluntarios de esta población, uno cada vez, hasta escoger a un voluntario de ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de que la quinta persona sea la primera que tiene ojos azules? ¿Cuál es el número esperado de personas escogidas?

Solución

Sea A el evento “La persona escogida tiene ojos azules”, Si p es la probabilidad de éxito, entonces p = P(A) = 0.25. Si definimos a X como “El número de veces que debe repetirse el experimento hasta escoger a la primera persona de ojos azules”, entonces X G(p = 0.25).

Pedir que la quinta persona se la primera con ojos azules significa que el experimento se repite hasta que en el quinto se obtiene éxito.

Luego P(X = 5) = 0.25(0.75)⁴ = 0.0791

El número esperado de personas escogidas es E[X] = 1/p = 1/0.25 = 4.