Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 114

La máquina A produce el 5% de piezas defectuosas, mientras que la máquina B produce el 10%. Si se extraen piezas de la producción de cada una de ellas, alternativamente, hasta encontrar una pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que de la producción A tenga que extraerse exactamente 4 piezas y de la producción B, exactamente 6 piezas?

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como “El número de piezas extraídas de la producción A hasta obtener una defectuosa” y sea Y la variable aleatoria definida como “El número de piezas extraídas de la producción B hasta obtener una defectuosa”

Sea A el evento “Extraer una pieza defectuosa de A en la cuarta extracción” y

B el evento “Extraer una pieza defectuosa de B en la sexta extracción”

Según el problema, debemos encontrar P(A ∩ B).

X es una variable con distribución geométrica de parámetro pA = 0.05 y Y tiene también una distribución geométrica con parámetro pB = 0.10.

Luego P(A) = p(4) = P(X = 4) = 0.05(0.95)3 = 0.04286875 P(B) = p(6) = P(Y = 6) = 0.10(0.90)5 = 0.059049.

Con lo cual P(A ∩ B) = 0.002536.

Ejemplo 115

En una población estudiantil que se reúnen todas las mañanas en el patio, se encuentra que, en un día determinado, los 2/3 de los alumnos están ausentes debido a una epidemia en la zona. Si el Profesor Díaz Cubas pasa lista en su sección de 25 alumnos y definimos a X como el número de alumnos que deben ser llamados hasta encontrar a uno conteste presente,

¿Cuál es la probabilidad de que el décimo niño llamado sea el primero que responda presente?

Calcular P(X <3)

Encuentre el número esperado de alumnos ausentes y la desviación estándar.

Solución

Si X es la variable definida como “El número de alumnos que deben ser llamados hasta que uno responda presente”, entonces X tiene distribución Geométrica con parámetro p = 1/3. Esto es así por cuanto los 2/3 de los alumnos están ausentes. La función de distribución de X es p(x) = P(X = x) = (1/3)(2/3)10-x    , x = 1, 2, ...

P(X = 10) = (1/3)(2/3)9 = 0.00867

P(X < 3 ) = P(X ≤ 2) = (1/3)(2/3)0 + (1/3)(2/3) = 5/9

El número esperado de alumnos ausentes es E[X] de manera que E[X] = 1/p = 3

Puesto que la desviación estándar es σ2 = q/p2, entonces σ = 2.4495

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