Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

4.9.4 Distribución de Pascal

Supongamos que se realiza un experimento ζ de manera repetida observando sus resultados. Si definimos a X como el “Número de veces que debe repetirse el experimento hasta obtener r resultados exitosos” y definimos a p como la probabilidad de éxito cada vez que se realiza el experimento, diremos entonces, que X tiene Distribución de Pascal con parámetros r y p, cuya distribución de probabilidad viene dada por

Teorema

Si X es una variable que tiene distribución de Pascal, entonces μ = k(1/p) y σ2 = k(q/p2)

Ejemplo 116

Si se lanza una moneda hasta que obtener 5 caras, encuentre la probabilidad de que tenga que lanzarse 12 veces. Encuentre también el número esperado de veces que debe lanzarse la moneda para obtener 5 caras, así como su desviación estándar.

Solución

Definamos a X como la variable aleatoria que representa “El número de lanzamientos realizados hasta obtener 5 caras”. X → Pk(r = 5, p = ½ ). El espacio rango de X es 5, 6, .. Como sólo se deben realizar 12 lanzamientos, la quinta cara debe obtenerse en el décimo lanzamiento. Las otras 4 caras deben caer en los 11 lanzamientos anteriores. Ahora bien, ¿de cuántas maneras podemos repartir 4 caras en 11 posiciones? Esto se hace en C(11,4) maneras. Como por otro lado deben obtenerse 5 caras y la probabilidad de obtener una cara es ½ , entonces ( ½ )5 es la probabilidad de obtener 5 caras. Además, Como en 12 lanzamientos deben ocurrir 7 sellos entonces ( 1/2 )7 es la probabilidad de obtener 7 sellos. Luego, la probabilidad de obtener 5 caras y 7 sellos es ( ½ ) 5 ( ½)7. Y esto puede ocurrir en C(11,4) maneras.

Luego

P(X = 12) = C(11, 4) (1/2)5(1/2)7 = 0.0856

El número esperado de veces que debe lanzarse la moneda hasta tener 5 caras es 5(1/(1/2)) = 10.

Del mismo modo, la desviación estándar, es 5(1/2 / ( 1/2 )2) = 10

Ejemplo 117

La probabilidad de un lanzamiento exitoso es igual a 0.8. Suponga que se hacen ensayos de lanzamiento hasta que 3 de ellos sean exitosos. ¿Cuál es la probabilidad de que sean necesarios 6 intentos?

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como “El número de lanzamientos realizados hasta que tres de ellos sean exitosos”. Por la forma cómo se define a X, sin duda ella tiene distribución de Pascal con parámetros r = 3 y p = 0.8; es decir X → Pk(3, 0.8) y cuya distribución de probabilidades viene dada por

p(x) = P(X = x) = C(x-1, r-1)0.8r0.2x-r. Según esto,

p(6) = P(X = 6) = C(6-1, 2)0.830.26-3 = 0.04096

 

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