Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 121

Sea X una variable aleatoria que se distribuye uniformemente sobre el intervalo (10, 20). Diga si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones:

El espacio rango de X es (0, +∞ )

El valor esperado de X es 15

La desviación estándar de X es 15

El valor esperado de X² es mayor que 15

El 80% de los valores de X son superiores a 18

Solución

De acuerdo a la definición si X tiene distribución uniforme sobre (10, 20) entonces su función de densidad viene dada por f(x) = 1 / (b-a),       a ≤ x ≤ b;   como tal, su espacio rango es el conjunto R_X = {x / 10 ≤ x ≤ 20 }.

Por lo que la proposición es Falsa.

Puesto que E[X] = entonces E[X] = 15.

La proposición es Verdadera.

Sabemos que V[X] =(b-a)² . La desviación estándar σ_X = 2.887.

Luego la proposición es Falsa.

E[X²] es la integral de 10 hasta 20 de x² e igual a 700/3. Esto implica que E[X²] > 15.

Luego es Verdadero

“El 80% de los valores de X son superiores a 18” se interpreta matemáticamente como que P(X > 18 ) = 0.80.

Veamos si esto es cierto:

P(X > 18) = 1 – F(18) = 1 - (18-10) / 10 = 0.2. La proposición es Falsa.

Ejemplo 122

Sea X una variable aleatoria continua con distribución uniforme sobre el intervalo (-2, 2). Calcular:

a) P(X < 3/2 )         P(-1 < X ≤ 1)

b) P( | X | > 3/2 )       P( | X - μ | ≤ 1)

c) P(μ - 2σ≤ X ≤ μ + 2σ )

Solución

Como X es una variable aleatoria con distribución uniforme sobre (-2, 2), entonces su función de densidad viene dada por

Para hallar P( | X - μ | ≤ 1) debemos tener el valor de μ.

Como μ = E[X] = (a + b) / 2 , entonces μ = 0

Luego P( | X - μ | ≤ 1) = P( | X - 0 | ≤ 1) = P( | X | ≤ 1 ) = P( -1 < X ≤ 1 ) = 1/2

c) Obtención de la desviación estándar, σ:

Como σ² = V[X] = (b - a)², entonces σ = √ (16/12) = 1.155

Con lo cual P(μ - 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ ) = P(0 – 2(1.155) ≤ X ≤ 0 + 2(1.155)) = 1 ya que