Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 134

En un conmutador telefónico se reciben llamadas de acuerdo a un proceso de Poisson con parámetro 5 por hora.

Si hay una persona en el conmutador,

 ¿cuál es la probabilidad de que transcurran al menos 15 minutos antes de la siguiente llamada?

¿De que no pasan más de 10 minutos?

Si ya han transcurrido 10 minutos desde la última llamada, ¿cuál es la probabilidad de que transcurran a lo más 5 minutos más para la siguiente llamada?

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como “El número de llamadas telefónicas llegadas a dicho conmutador por hora”.

Por la forma de la definición de la variable, podemos decir que X tiene distribución de Poisson con parámetro λ = 5.

Sea Y la variable aleatoria definida como “El tiempo transcurrido antes que llegue la segunda llamada”, entonces Y tendrá distribución exponencial con parámetro α = λy.

Es decir f(y) = α e^-λy,     y ≤ 0.

A la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran 15 minutos (0.25 horas), antes de la siguiente llamada?, respondemos encontrando la probabilidad de { Y / Y > 0.25 }; es decir,

P(Y > 0.25 ) = 1 – F(0.25) = 1 – (1 - e^-5(0.25)) = 0.2865 La probabilidad de que no pasen más de 10 minutos( 1/6 horas) es

P(Y ≤ 1/6 ) = F(1/6) = 1 - e^-5(1/6) = 0.5654

La última pregunta hace referencia a una probabilidad condicional. Para ello las conversiones de minutos a horas son: 15 minutos = 1/4 horas; 10 minutos = 1/6 horas.

Por ello debemos encontrar P(Y ≤ 5/12 / Y > 1/6 )

Ejemplo 135

El tiempo (en años) que un satélite permanece en el espacio es una variable aleatoria exponencial T, cuya función de distribución acumulada está dada por

F(t) = 1 - e^-0.5t,     t ≥ 0

Hallar la probabilidad de que un satélite permanezca en el espacio entre uno y tres años

¿Cuál es la probabilidad de que un satélite permanezca en el espacio más de cuatro años?

Si se lanzan tres satélites simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno permanezca en el espacio más de cuatro años?

Solución

Sea T la variable aleatoria que representa el “Tiempo que un satélite permanece en el espacio”. T tiene distribución exponencial con parámetro α = 0.5, según los datos.

Puesto que tenemos la función de distribución acumulada de T, usaremos a esta para responder a las preguntas

P( 1 ≤ T ≤ 3 ) = F(3) – F(1) = 1 - e^-0.5(3) - (1 - e^-0.5(1)) = 0.3834

Permanezca más de 4 años significa encontrar. P( T > 4 ) = e^-0.5(4) = 0.1353

En este inciso observamos las siguientes características:

Número de veces que se realiza el experimento (nro. de satélites) n = 3

Probabilidad de éxito p = P(el satélite permanezca más de 4 años) = 0.1353

La permanencia de los satélites más de 4 años o no son eventos independientes.

Con estas característica, si definimos a X como el “Número de satélites que permanecen más de 4 años”, diremos que X tiene distribución Binomial con parámetros n = 3 y p = 0.1353 ( B(3, 0.1353) ). Si definimos ahora el evento A: Por lo menos uno permanezca más de 4 años, entonces debemos hallar

P(A) = P( X ≥ 1 ) = 1 – P( X < 1 ) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0.1353⁰(0.8647)³ = 0.35345