Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 136

Suponga que el tubo de imagen plana de un determinado tipo de televisor tiene una longitud de vida X (en años), la cual es una variable aleatoria exponencial con una vida media de 5 años.

Si el costo de fabricación de un tubo para estos televisores es de $ 40.0 y el fabricante vende a estos tubos a $ 75.0, garantizando un reintegro total si el tiempo de vida del tubo es menor a 4 años, cuál es el beneficio esperado por tubo del fabricante?

Solución

X es una variable exponencial definida como el tiempo de vida del tubo. Como en el caso de una distribución exponencial μ = 5 = 1/α, entonces α = 0.2.

Por otro lado, sea Y el beneficio del fabricante. Según el problema

De donde

E[Y] = - 6.30. Esto significa que el fabricante espera tener una pérdida de $ 6.30 por tubo.

Ejemplo 137

Supongamos que X representa el tiempo de vida (en unidades de 1000 horas) de un determinado producto, el cual se considera como una variable aleatoria con función de densidad dada por

Donde m representa el factor de producción. El tiempo promedio de vida del producto es de 2000 horas.

a) Suponiendo que el costo de fabricación de tales productos es de $ 2.0, y el fabricante los vende por $ 5.0, pero garantiza un reembolso total si el tiempo de vida es, a lo más 900 horas. ¿Cuál es la utilidad esperada del fabricante?

b) Si ahora se selecciona cinco de estos productos aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga por lo menos cuatro productos con tiempo de vida, a lo más, 900 horas?

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como el “Tiempo de vida del producto”. Como X se distribuye exponencialmente, con una media de 2000 horas, entonces 1/α = 2000; de donde α = 1/2000.

Y puesto que m es el factor de producción y además coincide con α, entonces la función de densidad de X es f(x) = 1/2e^-1/2x,   x>0 (recuerde que X está en miles). La función de distribución acumulada de X es F(x) = 1 - e^-1/2x.

a) Sea U la utilidad del fabricante.

De acuerdo a los datos, la utilidad es de (5-2) por producto siempre que el tiempo de vida, x es mayor que 900 (0.9 miles) será de (0-2) cuando x es menor a 0.9 puesto que el producto se devuelve, en cuyo caso sólo hay costo. La función que define a U es

Luego el valor esperado de U será

E[U] = 3P(X > 0.9) + (-2)P(X ≤ 0.9 ) = 3(1-P(X ≤ 0.9 ) –2P(X ≤ 0.9) = 3 – 5 F(0.9)

E[U] = 3 – 5(1 - e^-1/2(0.9)) = 1.188.

Según esto, la utilidad que el fabricante espera obtener será de $1.188

b) En este caso se trata de obtener una muestra de 5 productos ( n = 5).

Definamos a la variable aleatoria Y como “El número de productos cuyo tiempo de vida no sobrepasan las 900 horas”.

De acuerdo al problema, Y se distribuye binomialmente con parámetros n = 5 y p; es decir Y → B(5, p), donde p = P(X  0.9 ) = 0.3624 Si A es el evento: “Obtener por lo menos 4 productos con tiempo de vida a lo más de 900 horas”, entonces