Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Distribución normal

Sea X una variable aleatoria continua con -∞< X <+∞.

Diremos que X tiene distribución normal con parámetros μ y σ² y si su función de densidad de probabilidad viene dada por

Del mismo modo

P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a)

Caso particular: Distribución NormalN(0, 1).

Sea X → N(μ, σ²). Si μ = 0 y σ² = 1; es decir, si centramos la media de X en el origen de coordenadas y hacemos unitaria la varianza, entonces X → N(0,1) recibe el nombre de distribución normal 0,1 cuya función de densidad es f(x) = (1/√(2π)) e^-x .

Analicemos esta función normal para obtener importantes conclusiones válidas para la solución de los problemas de aplicación.

En primer lugar, si hacemos a X = 0, entonces f(0) = 1/√(2π) = 0.39894228

La función f es una función simétrica respecto al origen de ordenadas Y. Esto implica que definimos un área bajo la curva para el intervalo (0, x0 ) con x0> 0, el área bajo la curva limitada por el intervalo (-x0 , 0), será la misma.

De acuerdo a lo expuesto en ii), P(X  0) = 0.5. Del mismo modo, también, P(X 0) = 0.5.

Dicho de otra manera F(0) = 0.5

Lo anterior significa que P[0 ≤ X ≤ x₀ ] = P[x₀ ≤ X ≤ 0 ].

Usando la acumulada F, tenemos F(x₀ ) – F(0) = F(0) – F(-x₀ ) de donde simplificando tenemos F(-x₀ )= 2 F(0) - F(x₀) . Luego F(-x0 ) = 1 – F(x0)

Adicionalmente, P(X ≥ x₀ ) = P(X ≤ x₀ ), como se puede ver en las áreas verdes. Afirmamos que P(X ≥ 4 ) = P(X ≤ -4 ) = 0, por aproximación, lo que se puede comprobar observando la siguiente gráfica

Por esta razón las tablas que usemos tendrán tabuladas a la función de distribución acumulada F desde X = -3 hasta X = 3, aunque cabe mencionar que también algunos libros muestran tablas desde X = -3.9 hasta X = 3.9, si bien sus últimos valores son iguales, a 5 decimales.

En la siguiente figura estamos mostrando el porcentaje de área cubierta por valores de μ y σ² en los intervalos (μ-nσ, μ+nσ), tales como (μ-σ, μ+σ), (μ-2σ, μ+2σ) y (μ-3σ, μ+3σ).

En términos de probabilidades tenemos: P(-1 ≤ X ≤ 1) = 0.6826;

P(-1.645 ≤ X ≤ 1.645 ) = 0.9000;

P( -1.96 ≤ X ≤ 1.96 ) = 0.95;

P(-2.56 ≤ X ≤ 2.56 ) = 0.9896