Unidad 6. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS (XV)

Ejemplo 21

Si X₁, X₂, …, X_n es una muestra aleatoria extraída de una población con función de densidad f(x; θ₁, θ₂) encuentre la función de verosimilitud para estas variables, donde

Estimador máximo -verosímil

Sea L(θ) = g(x₁, x₂, …, x_n; θ) la función de verosimilitud para las variables x₁, x₂, …, x_n. Si = t(x₁, x₂, …, x_n) es el valor de θ que maximiza a L(θ); es decir, L() = Max {L(θ)}, diremos entonces que = t(x₁, x₂, ..., x_n) es el Estimador Máximo Verosímil de θ.

Observaciones

Recordemos que, si f(x; θ) es la función de densidad poblacional y x₁, x₂, …, x_n es una muestra aleatoria entonces L(x; θ) = f(x₁; θ) f(x₂; θ)… f(x_n; θ0000)

Condición de regularidad: El estimador máximo verosímil (EMV) satisface la siguiente ecuación:

Para el caso de múltiples parámetros, en el caso de que se satisfaga las condiciones de regularidad, el punto en el cual L(x; ) es máxima es una solución del sistema:

Nota:

Procedimiento a seguir para obtener el Estimador Máximo Verosímil (EMV):

Paso 1: Obtener la función de verosimilitud L(X; θ)

Paso 2: Tomar Ln(L(X; )) y simplificar todo lo posible

Paso 3: Obtener las derivadas parciales respecto a cada parámetro

Paso 4: Igualar a cero las ecuaciones resultantes en el paso anterior

Cada una de las soluciones encontradas constituirá un EMV de θ.